שכחת החלפת תחום וטווח בפונקציה הופכית

לפונקציה f שיש לה הופכית f⁻¹, יש החלפה בין תחום וטווח:

• תחום של f⁻¹ = טווח של f.
• טווח של f⁻¹ = תחום של f.

שכחת ההחלפה היא טעות נפוצה שמובילה לפתרון לא מלא.

הטעות הקלאסית

נתון: f(x) = √x. מצאו את ההופכית ואת תחומיה.

טעות: התלמיד מוצא f⁻¹(y) = y² ומכריז: "תחום ההגדרה של ההופכית הוא כל הממשיים".

מה שגוי. אכן, y² מוגדר לכל y, אבל הפונקציה ההופכית מוגבלת לטווח של f, שהוא [0, ∞). הפונקציה y² המוגדרת רק על מספרים אי-שליליים אינה זהה ל-y² רגיל.

נכון: ההופכית f⁻¹(y) = y² עם תחום [0, ∞).

דוגמה. פונקציה אקספוננציאלית והופכית

f(x) = eˣ:

• תחום: כל הממשיים.
• טווח: (0, ∞).

ההופכית: f⁻¹(y) = ln(y):

• תחום: (0, ∞) (טווח של f).
• טווח: כל הממשיים (תחום של f).

הקשר הזה הוא ההסבר לתחום ההגדרה של ln.

אלגוריתם למציאת הופכית

1. כתבו y = f(x).
2. חלפו בין x ל-y: x = f(y).
3. בידוד y. עכשיו y הוא פונקציה של x, וזו ההופכית.
4. חליפו תחום ואת טווח: התחום של ההופכית הוא טווח המקור.

דוגמה מלאה

נתון: f(x) = 2x − 3 בתחום x ≥ 0.

שלב 1. y = 2x − 3.

שלב 2. x = 2y − 3.

שלב 3. מבודדים: y = (x + 3)/2.

שלב 4. טווח של f: f(0) = −3 ושואפת ל-∞. אז הטווח: [−3, ∞).

תחום של f⁻¹ הוא [−3, ∞), וההופכית: f⁻¹(x) = (x + 3)/2.

בדיקה. f(f⁻¹(x)) = 2 · (x+3)/2 − 3 = x. נכון.

הקשר עם גרפים

הגרף של f⁻¹ הוא השתקפות של גרף f סביב הקו y = x. זה מסביר חזותית את החלפת תחום וטווח: ציר ה-x של f הופך לציר ה-y של f⁻¹ ולהפך.

פונקציה לא חד-חד-ערכית

f(x) = x² בתחום כל הממשיים אינה חד-חד-ערכית. למשל, f(2) = f(−2) = 4. אז אין לה הופכית רגילה.

פתרון. מגבילים את התחום:

• אם x ≥ 0: ההופכית f⁻¹(x) = √x.
• אם x ≤ 0: ההופכית f⁻¹(x) = −√x.

לכל בחירה של תחום מוגבל, יש הופכית שונה.

איך להימנע

1. רשמו במפורש את תחום וטווח של הפונקציה המקורית.
2. אחרי מציאת ההופכית, החלפו את תחום ואת טווח בלי לחשוב שזה אוטומטי.
3. בדקו בהרכבה: f(f⁻¹(x)) = x ו-f⁻¹(f(x)) = x. אם זה לא עובד, יש שגיאה.

עמודים קשורים

• פונקציה לעומת יחס
• חקירת פונקציה לוגריתמית
• חוקי לוגריתם