פונקציה לעומת יחס: ההבדל ומבחן הקו האנכי

פונקציה היא מקרה פרטי של יחס: יחס שבו לכל x יש בדיוק y אחד. ההבחנה הזו חשובה כשמדברים על פונקציות לעומת עקומות.

הגדרות

יחס: קבוצה של זוגות מסודרים (x, y). לא יש דרישה על כמות ה-y לכל x.

פונקציה: יחס שבו לכל x בתחום קיים בדיוק y אחד בטווח. סימון y = f(x) או f: X → Y.

דוגמאות

יחסים שאינם פונקציות

• מעגל יחידה: x² + y² = 1. לכל x בין −1 ל-1 יש שני ערכי y (אחד חיובי ואחד שלילי).
• x = y²: לכל x > 0 יש שני ערכי y (חיובי ושלילי).

פונקציות

• קו ישר: y = 2x + 3. כל x נותן y יחיד.
• פרבולה: y = x². כל x נותן y יחיד.
• פונקציה רציונלית: y = 1/x (חוץ מ-x = 0).

מבחן הקו האנכי

נתון גרף של יחס. אם מצליחים למצוא קו אנכי שחוצה את הגרף ביותר מנקודה אחת, היחס אינו פונקציה.

זה מבחן חזותי פשוט. ציירו קו אנכי מימני, שמאלי, אמצעי. אם בכל קו רק נקודה אחת על הגרף, יש פונקציה. אם בקו כלשהו יש שתי נקודות או יותר, אין.

טבלת השוואה

למה זה משנה

חשבון אינפיניטסימלי (גזירה, אינטגרציה) פועל על פונקציות. כשהשאלה היא על עקומה כללית כמו מעגל, יש שתי אפשרויות:

1. חלוקה לשתי פונקציות. למשל מעגל היחידה: חצי עליון y = √(1 − x²), וחצי תחתון y = −√(1 − x²). כל אחת פונקציה לעצמה.
2. גזירה סתומה. טכניקה ברמה מתקדמת שמתייחסת ל-x ו-y כפרמטרים תלויים. בבגרות בישראל לא תמיד דורשים.

דוגמה. הפיכת יחס לפונקציה

נתון: x² + 4y² = 4. זה אליפסה, יחס.

פתרון. מבודדים את y:

$$y^2 = \frac{4 - x^2}{4} \implies y = \pm \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$$

קיבלנו שתי פונקציות, אחת חיובית (חצי עליון) ואחת שלילית (חצי תחתון). כל אחת מהן עומדת במבחן הקו האנכי בנפרד.

חקירת יחס שאיננו פונקציה

לא משתמשים במונחים "נקודות קיצון" ליחס בלי לפצל אותו לפונקציות. למשל, "המקסימום של מעגל" לא מוגדר במובן של חדו״א. במקום, מדברים על נקודות העיגול הגבוהות ביותר או הנמוכות ביותר, וזה עיצוב גאומטרי.

הפונקציה ההפוכה

לפונקציה f יש פונקציה הפוכה f⁻¹ רק אם f חד-חד-ערכית: לכל y יש בדיוק x אחד. זוהי שכבה נוספת על פונקציה רגילה.

מבחן הקו האופקי. אם כל קו אופקי חוצה את הגרף בלכל היותר נקודה אחת, הפונקציה חד-חד-ערכית והפיכה.

עמודים קשורים

• חקירת פונקציה פולינומית
• חקירת פונקציה רציונלית
• איך לחקור פונקציה פולינומית