קטע פתוח לעומת קטע סגור: סוגריים, מקסימום ומינימום

קטע פתוח וקטע סגור הם שני סוגי קטעים עם השלכות מעשיות שונות, במיוחד כשמדובר במציאת מקסימום ומינימום.

הגדרות

קטע סגור [a, b]: כל המספרים הממשיים x המקיימים a ≤ x ≤ b. כולל את a ואת b.

קטע פתוח (a, b): כל המספרים הממשיים x המקיימים a < x < b. לא כולל את a ולא את b.

קטע חצי-פתוח [a, b): כולל את a, לא כולל את b. ובאופן דומה (a, b].

סימון בגרף

על קו מספרים:

• כולל: נקודה מלאה.
• לא כולל: עיגול ריק.

על גרף של פונקציה:

• כולל: נקודה מלאה בקצה הגרף.
• לא כולל: עיגול ריק בקצה.

מקסימום ומינימום

בקטע סגור של פונקציה רציפה, תמיד קיימים מקסימום ומינימום (משפט ויירשטרס). הם יכולים להתקבל בקצה הקטע או בפנים.

בקטע פתוח, ייתכן שאין מקסימום או מינימום. למשל, f(x) = x על (0, 1):

• אין מינימום (x יכול להיות קרוב מאוד ל-0 אבל לא 0).
• אין מקסימום (x יכול להיות קרוב מאוד ל-1 אבל לא 1).

זה ההבדל המרכזי.

טבלת השוואה

דוגמה. בעיית קופסה

בנו קופסה ללא מכסה מקרטון בגודל 12 × 12. חותכים ריבועים מהפינות באורך x ומקפלים. מצאו x שמקסם את הנפח.

נפח: V(x) = x(12 − 2x)².

תחום הגדרה. מטעמים פיזיקליים, 0 < x < 6. הגבולות לא נכללים (אם x = 0, אין קופסה. אם x = 6, אין בסיס).

גזירה: V'(x) = (12 − 2x)² + x · 2(12 − 2x) · (−2) = (12 − 2x)(12 − 2x − 4x) = (12 − 2x)(12 − 6x).

אפסים: x = 6 (מחוץ לתחום) ו-x = 2 (בתחום).

ערך מקסימלי בקטע הפתוח: V(2) = 2 · 64 = 128.

הקצוות לא מנוצלים כי הם בקטע הפתוח. אם השאלה הייתה על [0, 6], היינו מבדילים בין הקצוות (שווי 0) לבין הפנים. במקרה זה הקיצון בפנים.

משפט ערך הביניים

תקף רק בקטע סגור עם פונקציה רציפה. אם f רציפה על [a, b], אז לכל ערך y בין f(a) ל-f(b), קיים x בקטע כך ש-f(x) = y.

בקטע פתוח, המשפט לא תקף אם הפונקציה מתבדרת בקצוות.

תחום הגדרה כקטע

לעיתים תחום ההגדרה של פונקציה מוצג כקטע. למשל, f(x) = 1/x מוגדרת ב-(0, ∞) או (−∞, 0). כך גם √x מוגדרת ב-[0, ∞). הבחירה בין פתוח לסגור מהותית לפעמים.

איך לזכור

הסוגריים העגולים פתוחים בשני הצדדים, כמו פיתחה לקטע פתוח. הסוגריים המרובעים סגורים, כמו לקטע סגור.

עמודים קשורים

• קיצון מקומי לעומת קיצון גלובלי
• איך למצוא נקודות קיצון של פונקציה
• בעיות מקסימום ומינימום