איך למצוא נקודות קיצון של פונקציה: מדריך מלא

נקודת קיצון של פונקציה היא מקסימום מקומי או מינימום מקומי. מציאתן היא אחת השאלות הקלאסיות בחדו״א.

שלב 1: גזרו את הפונקציה

חשבו את f'(x). השתמשו בכללי הגזירה הסטנדרטיים (סכום, מכפלה, מנה, שרשרת).

שלב 2: השוו לאפס

פתרו את המשוואה f'(x) = 0. הפתרונות הם נקודות חשודות לקיצון. גם נקודות שבהן הנגזרת אינה קיימת הן חשודות.

שלב 3: סווגו כל נקודה

בשלב הזה צריך להחליט אם כל נקודה היא מקסימום, מינימום, או נקודת פיתול. שתי שיטות:

שיטת הנגזרת השנייה

חישוב f''(x) בנקודה החשודה:

• f''(x₀) > 0: מינימום מקומי.
• f''(x₀) < 0: מקסימום מקומי.
• f''(x₀) = 0: לא מסיק (יכול להיות פיתול או קיצון). נסו שיטת הסימנים.

שיטת הסימנים

בודקים את סימן f'(x) משני צדי הנקודה:

שלב 4: חשבו את ערך הפונקציה

בנקודה x₀, ערך הקיצון הוא f(x₀). נקודת הקיצון היא (x₀, f(x₀)).

דוגמה מלאה

מצאו נקודות קיצון של f(x) = x³ − 3x² + 4.

שלב 1. f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2).

שלב 2. 3x(x − 2) = 0. נקודות חשודות: x = 0 ו-x = 2.

שלב 3. f''(x) = 6x − 6.

• f''(0) = −6 < 0. מקסימום.
• f''(2) = 6 > 0. מינימום.

שלב 4.

• f(0) = 4. נקודת מקסימום: (0, 4).
• f(2) = 8 − 12 + 4 = 0. נקודת מינימום: (2, 0).

טעויות נפוצות

• שכחת נקודות שבהן הנגזרת לא קיימת. למשל f(x) = |x|. הנגזרת לא קיימת ב-x = 0, אבל זו נקודת מינימום.
• שיטת הנגזרת השנייה עם f''(x₀) = 0. השיטה לא מסיקה. עברו לשיטת הסימנים.
• בלבול בין קיצון מקומי לגלובלי. קיצון מקומי הוא רק בסביבה הקרובה. במציאת קיצון גלובלי על קטע סגור, צריך גם לבדוק את נקודות הקצה.

בעיות מקסימום ומינימום מעולם המציאות

הרבה שאלות בבגרות מתחזות לבעיות פיזיקליות (קופסה בנפח מקסימלי, גדר בשטח מקסימלי). הצעדים זהים: מנסחים פונקציה, גוזרים, ופותרים. ההבדל הוא שבסוף צריך לבדוק שהפתרון הגיוני בהקשר (אורך חיובי, וכו').

עמודים קשורים

• טבלת הנגזרות
• שכחת כלל השרשרת
• בעיות מקסימום ומינימום
• חקירת פונקציה פולינומית