שכחת כלל השרשרת: הטעות הכי יקרה בנגזרת
כשגוזרים פונקציה מורכבת, חייבים להכפיל בנגזרת הפנימית. שכחת המהלך הזה היא הטעות הנפוצה ביותר בחדו״א של בגרות במתמטיקה.
עודכן ב-27 במאי 2026
כלל השרשרת אומר שאם y = f(g(x)), אז y' = f'(g(x)) · g'(x). שכחת ההכפלה ב-g'(x) היא הטעות הקלאסית בחדו״א.
הטעות הקלאסית
גזרו: y = sin(3x).
טעות: התלמיד רושם y' = cos(3x). שכח להכפיל ב-3.
נכון:
איך לזהות שיש פה הרכבה
ראיתם פונקציה מוכרת sin, cos, e, ln, חזקה, ובתוכה ביטוי שאינו x בודד? אז זו הרכבה, וצריך כלל שרשרת.
| ביטוי | פונקציה חיצונית | פונקציה פנימית | נגזרת |
|---|---|---|---|
sin(3x) | sin | 3x | 3·cos(3x) |
(2x+1)⁵ | חזקה חמישית | 2x+1 | 5·(2x+1)⁴·2 = 10(2x+1)⁴ |
e^(x²) | e^u | x² | 2x·e^(x²) |
ln(x²+1) | ln | x²+1 | 2x/(x²+1) |
√(4x−3) | חזקה חצי | 4x−3 | 4/(2√(4x−3)) = 2/√(4x−3) |
טיפ זיכרון
חשבו על שני שלבים:
- תגזרו את החיצוני, ותשאירו את הפנימי בלי לגעת בו.
- תכפילו בנגזרת הפנימי.
אם הפנימי הוא סתם x, אז (x)' = 1 והכפל לא משנה כלום. זו הסיבה שכש-y = sin x הנגזרת היא פשוט cos x. ההכפלה ב-1 שקופה.
דוגמה דו-שלבית
גזרו: y = sin²(3x). זו הרכבה כפולה: ריבוע של סינוס של 3x.
שני שלבי שרשרת: גזירה של הריבוע, ואז גזירה של הסינוס, ואז גזירה של 3x. כל מי שיעצור באמצע, יפסיד נקודות.
איך להימנע
- אחרי שאתם גוזרים, תסתכלו שוב על הפונקציה. אם בתוך פונקציה מוכרת יש ביטוי, ודאו שהכפלתם בנגזרת שלו.
- כשגוזרים
e^u, הכפלו תמיד ב-u'. הזכרון "e נשארת אותו דבר" שכיח אבל מטעה. - בבדיקה, הציבו x = 1 ובדקו עם נגזרת מספרית:
(f(1.001) − f(1))/0.001. אם התוצאות לא קרובות, סביר ששכחתם שרשרת.