מעלות לעומת רדיאנים בנגזרת: הטעות הכי שקטה בחדו״א

הנוסחה (sin x)' = cos x נכונה רק כש-x ברדיאנים. אם משתמשים במעלות, הנוסחה הופכת ל-(sin x)' = (π/180) cos x. בבגרות בישראל הסטנדרט בנגזרת הוא רדיאנים, וזיהוי שגוי של זווית במעלות הוא טעות שכיחה.

הסטנדרט בבגרות

בכל שאלת חדו״א טריגונומטרית בבגרות, ההנחה היא:

• (sin x)' = cos x
• (cos x)' = −sin x
• (tan x)' = 1 / cos² x

כל אלה נכונים רק כש-x ברדיאנים. תחום ההגדרה של פונקציה טריגונומטרית בחדו״א, למשל [0, 2π], גם הוא ברדיאנים.

הטעות הקלאסית

נתון: מצאו את הנקודות הקריטיות של f(x) = sin x על [0°, 360°].

טעות: התלמיד גוזר ומגיע ל-cos x = 0, מציב x = 90° ועוצר.

מה שגוי: אם רושמים תחום במעלות, צריך להעביר אותו לרדיאנים: [0, 2π]. ולחילופין, אם רושמים את הנגזרת במעלות, צריך לכלול את המקדם π/180. הערבוב בין שני העולמות יוצר תשובה לא עקבית.

פתרון נכון. ראשית, ממירים את התחום: 0° = 0 רדיאן, 360° = 2π רדיאן. גוזרים: cos x = 0, ומקבלים x = π/2 ו-x = 3π/2. בסיום, אם רוצים, ממירים בחזרה למעלות: 90° ו-270°.

איך להימנע

• תמיד עובדים ברדיאנים בכל שאלת חדו״א. אם השאלה רושמת מעלות, ההמרה לרדיאנים היא הצעד הראשון.
• בדקו את התחום. אם רואים [0, 360] בלי סימן מעלה, סביר שמדובר ברדיאנים, וזה תחום הרבה יותר גדול ממה שמצופה.
• בדפי הנוסחאות, הנוסחאות מופיעות ברדיאנים בלבד.

ההמרה

נוסחה כללית:

$$\text{rad} = \frac{\pi}{180} \cdot \text{deg}$$

בדיקה במחשבון

המחשבון המאושר לבגרות נמצא בדרך כלל במצב מעלות כברירת מחדל. לפני שמחשבים sin(π/2) או cos(π), ודאו שהוא במצב RAD. אחרת התשובות שלכם בכל שאר השאלה יהיו שגויות.

עמודים קשורים

• טבלת הנגזרות
• נגזרת של פונקציה מורכבת (כלל השרשרת)
• שכחת כלל השרשרת