פירמידה מרובעת: נפח, שטח פנים, וגבהים

פירמידה מרובעת היא גוף במרחב שבסיסו ריבוע (או מלבן) וארבע פאות צד משולשות מתאחדות בקודקוד אחד.

הגדרה

פירמידה שבסיסה מרובע. יש לה:

• 5 פאות (1 בסיס + 4 צד)
• 8 צלעות (4 בסיס + 4 צד)
• 5 קודקודים

גבהים שונים

נוסחאות (פירמידה משוכללת מרובעת)

עם צלע בסיס a וגובה פירמידה h:

$$V = \frac{1}{3} a^2 h$$

אפותם (קשר בין h, חצי-a, ואפותם):

$$l = \sqrt{h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2}$$

שטח פנים:

$$S_{\text{פנים}} = a^2 + 4 \cdot \frac{a \cdot l}{2} = a^2 + 2 a l$$

(שטח בסיס + 4 פאות-משולש.)

צלע צד (קשר בין h, חצי אלכסון בסיס, וצלע צד):

$$s = \sqrt{h^2 + \left( \frac{a \sqrt{2}}{2} \right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}$$

דוגמה 1: נפח

פירמידה מרובעת עם צלע בסיס 6 וגובה 8. מצאו את הנפח.

פתרון.

$$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96$$

דוגמה 2: שטח פנים

עם צלע בסיס 6 וגובה 4, מצאו את שטח הפנים.

פתרון. אפותם:

$$l = \sqrt{16 + 9} = 5$$ $$S = 36 + 2 \cdot 6 \cdot 5 = 96$$

טעויות נפוצות

1. בלבול בין גובה הפירמידה לאפותם. הגובה מאונך לבסיס. האפותם הוא הגובה במשולש הצד.
2. שכחת חלוקה ב-3 בנפח. כל פירמידה: (1/3) · בסיס · גובה.
3. חישוב שטח פאת צד עם הגובה במקום האפותם. שטח משולש = ½ · בסיס · גובה במשולש = ½ · a · l.

עמודים קשורים

• פירמידה משולשת
• פירמידה משוכללת
• קובייה
• תיבה