פירמידה משוכללת: הגדרה ונוסחאות

פירמידה משוכללת היא פירמידה שבסיסה מצולע משוכלל והקודקוד העליון נמצא בדיוק מעל מרכז הבסיס. ממילא, כל פאות הצד הן משולשים שווי-שוקיים זהים.

הגדרה

פירמידה הנקראת משוכללת אם:

1. הבסיס הוא מצולע משוכלל (משולש שווה-צלעות, ריבוע, משושה משוכלל, וכך הלאה).
2. הקודקוד העליון נמצא מעל מרכז הבסיס.

תכונות

1. כל פאות הצד הן משולשים שווי-שוקיים זהים.
2. כל הצלעות מהקודקוד לבסיס שוות (צלעות הצד).
3. כל האפותמים שווים.

נוסחאות

עם שטח בסיס S_b, גובה פירמידה h:

$$V = \frac{1}{3} S_b h$$

עם היקף בסיס P ואפותם l:

$$S_{\text{צד}} = \frac{1}{2} P l$$

(שטח כל פאות הצד יחדיו.)

שטח פנים:

$$S_{\text{פנים}} = S_b + \frac{1}{2} P l$$

דוגמה: פירמידה משולשת משוכללת

פירמידה משוכללת עם בסיס משולש שווה-צלעות (צלע 4) וגובה 6. מצאו נפח ושטח פנים.

פתרון. שטח הבסיס:

$$S_b = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$

נפח:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 6 = 8 \sqrt{3}$$

לחישוב פאות הצד צריך את האפותם. גובה הבסיס המשולש: 4√3/2 = 2√3. מרכז משולש מחלק את הגובה ביחס 2:1 מהקודקוד. מרחק מהמרכז לאמצע הצלע: 2√3/3.

אפותם של הפירמידה:

$$l = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3}/3)^2} = \sqrt{36 + 4/3} \approx 6.11$$

שטח פאת צד (משולש עם בסיס 4 וגובה l):

$$\text{פאה אחת} = \frac{4 \cdot l}{2} = 2l \approx 12.22$$

שלוש פאות צד: ≈ 36.66. שטח פנים כולל: ≈ 36.66 + 6.93 ≈ 43.59.

טעויות נפוצות

1. בלבול בין פירמידה משוכללת ללא-משוכללת. בלא-משוכללת הקודקוד לא בהכרח מעל המרכז.
2. שכחה שהמרחק מהמרכז לצלע הוא רדיוס מעגל חסום של הבסיס, לא הצלע עצמה.
3. חישוב אפותם כצלע צד. אפותם נמצא בתוך פאת צד, מהקודקוד לאמצע צלע בסיס. צלע צד מהקודקוד לקודקוד הבסיס.

עמודים קשורים

• פירמידה משולשת
• פירמידה מרובעת
• משושה משוכלל