פירמידה משולשת (טטרהדר): נפח ושטח

פירמידה משולשת היא גוף במרחב בעל בסיס משולש ושלוש פאות צד משולשות שמתאחדות בקודקוד אחד. במונח כללי יותר היא נקראת טטרהדר (גוף בעל 4 פאות).

הגדרה

פירמידה שבסיסה משולש. יש לה 4 פאות (1 בסיס + 3 צד), 6 צלעות, ו-4 קודקודים.

נוסחאות

עם שטח בסיס S_b וגובה h:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h$$

שטח פנים = שטח בסיס + שטחי שלוש פאות הצד.

(אין נוסחה אחידה לפאות הצד כי הן משולשים כללים אלא אם הפירמידה משוכללת.)

טטרהדר משוכלל

פירמידה משולשת שכל הפאות שלה משולשים שווי-צלעות (גם הבסיס וגם פאות הצד).

עם צלע a:

$$V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$$ $$S_{\text{פנים}} = a^2 \sqrt{3}$$

(הכפלת שטח משולש שווה-צלעות a²√3/4 בארבע פאות.)

דוגמה 1: נפח פירמידה כללית

פירמידה משולשת עם בסיס משולש בעל שטח 12 וגובה 5. מצאו את הנפח.

פתרון.

$$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5 = 20$$

דוגמה 2: טטרהדר משוכלל

טטרהדר משוכלל עם צלע 6. מצאו נפח ושטח פנים.

פתרון.

$$V = \frac{216 \sqrt{2}}{12} = 18 \sqrt{2}$$ $$S = 36 \sqrt{3}$$

טעויות נפוצות

1. שכחת חלוקה ב-3 בנוסחת נפח. כל פירמידה: (1/3) · בסיס · גובה.
2. חישוב גובה כאחת מפאות הצד. הגובה הוא קטע מאונך מהקודקוד העליון לבסיס.
3. בלבול בין פירמידה משולשת לפירמידה משוכללת. משוכללת = כל הפאות שווי-צלעות.

עמודים קשורים

• פירמידה מרובעת
• פירמידה משוכללת
• קובייה