קובייה: נוסחאות נפח, שטח פנים, ואלכסונים

קובייה היא גוף במרחב שכל פאותיו הן ריבועים שווים. היא המקרה הסימטרי ביותר של תיבה.

הגדרה

גוף במרחב בעל 6 פאות, כל אחת ריבוע. כל הצלעות שוות באורך. כל הזוויות 90°.

תכונות

• 6 פאות (כולן ריבועים שווים)
• 12 צלעות שוות
• 8 קודקודים
• 3 זוגות פאות מקבילות
• גוף משוכלל

נוסחאות

עם צלע a:

$$V = a^3$$ $$S_{\text{פנים}} = 6 a^2$$

אלכסון פאה (על הריבוע):

$$d_{\text{פאה}} = a \sqrt{2}$$

אלכסון ראשי (חוצה את הקובייה):

$$d_{\text{ראשי}} = a \sqrt{3}$$

דוגמה 1: חישוב בסיסי

קובייה עם צלע 4. מצאו נפח, שטח פנים, ואלכסון ראשי.

פתרון.

$$V = 64, \quad S = 96, \quad d = 4\sqrt{3} \approx 6.93$$

דוגמה 2: מצלע מאלכסון

קובייה עם אלכסון ראשי 6. מצאו את הצלע ואת הנפח.

פתרון.

$$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$ $$V = (2\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3 \sqrt{3} = 24 \sqrt{3}$$

טעויות נפוצות

1. חישוב שטח פנים כ-a². שגוי! שטח פנים = 6a² (שש פאות).
2. בלבול בין אלכסון פאה לראשי. הראשי קצת יותר ארוך (a√3 לעומת a√2).
3. חישוב נפח כ-a² במקום a³. נפח חוץ-ממדי, צלע מועלית בחזקת 3.

עמודים קשורים

• תיבה
• פירמידה משוכללת
• גליל