משושה משוכלל: תכונות, נוסחאות שטח, ויחס לצלע

משושה משוכלל הוא מצולע בעל 6 צלעות שוות וכל הזוויות שוות. הוא הצורה הסימטרית של 6 צלעות, ומופיע במקרים רבים בגאומטריה.

תכונות

1. 6 צלעות שוות.
2. 6 זוויות שוות, כל אחת 120°.
3. 6 צירי סימטריה: 3 דרך זוגות אלכסונים נגדיים, ו-3 דרך זוגות אמצעי-צלעות נגדיים.
4. חלוקה ל-6 משולשים שווי-צלעות: כל אחד יוצא מהמרכז וצלעו שווה לצלע המשושה.
5. צלע = רדיוס המעגל החוסם.

נוסחאות

עם צלע a:

$$P = 6a$$

שטח (סכום 6 משולשים שווי-צלעות):

$$S = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$$

רדיוס מעגל חוסם:

$$R = a$$

רדיוס מעגל חסום (= גובה של אחד מהמשולשים שווי-הצלעות):

$$r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$

אלכסון ארוך (חוצה את המרכז, עובר בין שני קודקודים נגדיים):

$$d_{\text{long}} = 2a$$

אלכסון קצר (בין שני קודקודים עם קודקוד אחד ביניהם):

$$d_{\text{short}} = a \sqrt{3}$$

דוגמה 1: חישוב שטח

משושה משוכלל עם צלע 4. מצאו את השטח ואת ההיקף.

פתרון.

$$P = 24, \quad S = \frac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = 24 \sqrt{3} \approx 41.57$$

דוגמה 2: שטח מרדיוס

משושה משוכלל חסום במעגל ברדיוס 5. מצאו את השטח.

פתרון. במשושה משוכלל, צלע = רדיוס מעגל חוסם, אז a = 5:

$$S = \frac{3 \cdot 25 \sqrt{3}}{2} = \frac{75 \sqrt{3}}{2} \approx 64.95$$

טעויות נפוצות

1. חישוב שטח כ-a². שגוי! משושה אינו ריבוע.
2. בלבול בין אלכסון ארוך לקצר. הארוך הוא 2a, הקצר a√3.
3. שכחה שצלע שווה לרדיוס חוסם. זו תכונה ייחודית למשושה, ולא למצולעים אחרים.

עמודים קשורים

• מצולע משוכלל
• משולש שווה-צלעות
• מעגל