משולש שווה-צלעות: תכונות, נוסחאות, ודוגמאות

משולש שווה-צלעות הוא משולש שכל שלוש הצלעות שלו שוות באורכן. זוהי הצורה המסומטרית ביותר במשולשים, וכל תכונה שמתקיימת לצלע אחת מתקיימת לכל הצלעות.

הגדרה

משולש ABC נקרא שווה-צלעות אם AB = BC = CA.

תכונות מרכזיות

1. כל הזוויות שוות ל-60°.
2. גובה לכל צלע שווה ל-תיכון ולחוצה זווית מאותו קודקוד.
3. שלוש הסימטריות הצירית: שלושה צירי סימטריה דרך כל קודקוד וצלע נגדית.
4. שלושת הגבהים שווים באורכם.
5. מרכז כובד, מרכז המעגל החוסם, ומרכז המעגל החסום מתלכדים בנקודה אחת.

נוסחאות

עם צלע a:

$$P = 3a$$ $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

גובה:

$$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$$

רדיוס מעגל חוסם:

$$R = \frac{a \sqrt{3}}{3}$$

רדיוס מעגל חסום:

$$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$$

דוגמה

במשולש שווה-צלעות, צלע 6. מצאו את השטח, ההיקף, והגובה.

פתרון.

$$P = 18, \quad S = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}, \quad h = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$$

טעויות נפוצות

1. חישוב שטח כ-(a²)/2 כמו במשולש ישר זווית. הנוסחה הנכונה היא a²√3/4.
2. בלבול בין רדיוס חוסם לרדיוס חסום. R גדול פי 2 מ-r במשולש שווה-צלעות.
3. שכחה שכל הזוויות שוות ל-60. ולא ל-90 כמו במשולש ישר זווית.

עמודים קשורים

• משולש שווה-שוקיים
• משולש ישר זווית
• משולשים
• גאומטריה