משולש שווה-שוקיים: תכונות, משפטים, ונוסחאות

משולש שווה-שוקיים הוא משולש שבו שתי צלעות (השוקיים) שוות באורכן. הצלע השלישית נקראת הבסיס, והקודקוד שבין השוקיים נקרא קודקוד הראש.

הגדרה

משולש ABC שווה-שוקיים אם AB = AC. במקרה זה:

• AB ו-AC הן השוקיים
• BC היא הבסיס
• A הוא קודקוד הראש
• ∠B ו-∠C הן זוויות הבסיס

תכונות מרכזיות

1. זוויות הבסיס שוות. ∠B = ∠C.
2. הגובה לבסיס שווה לחוצה זווית הראש ולתיכון לבסיס. קו עזר אחד מהקודקוד A לאמצע BC מבצע שלוש פונקציות בו-זמנית: גובה, חוצה זווית, ותיכון.
3. סימטריה. המשולש סימטרי ביחס לקו זה.

משפטים והפכיהם

נוסחאות

עם בסיס b, שוק a, וגובה לבסיס h:

$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h, \quad P = 2a + b$$

קשר בין הגובה לבסיס לשוק (מפיתגורס):

$$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

עם זוויות בסיס β:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(180° - 2\beta)$$

דוגמת הוכחה

במשולש שווה-שוקיים ABC (AB = AC), הנקודה D על BC כך ש-BD = DC. הוכיחו ש-AD ⊥ BC. הוכחה.

1. AB = AC (נתון).
2. BD = DC (נתון).
3. AD צלע משותפת.
4. ⇒ ΔABD ≅ ΔACD (לפי צ.צ.צ).
5. ⇒ ∠ADB = ∠ADC.
6. ∠ADB + ∠ADC = 180° (זוויות צמודות על ישר אחד).
7. ⇒ ∠ADB = ∠ADC = 90°.
8. ⇒ AD ⊥ BC. ∎

טעויות נפוצות

1. בלבול בין הגובה לשוק והגובה לבסיס. רק הגובה לבסיס הוא גם תיכון וחוצה זווית.
2. הנחה שגויה שכל המשפטים תקפים לזוויות ובסיס "המוכרים מהציור". ההגדרה היא AB = AC, ולא הציור.
3. שימוש לא נכון בסימטריה בהוכחות. סימטריה היא תכונה, לא נימוק מספיק; צריך לציין משפט חפיפה מפורש.

עמודים קשורים

• משולש שווה-צלעות
• משפטי חפיפה
• הוכחות חפיפה. אסטרטגיה