הוכחות חפיפת משולשים: ארבעת המשפטים ושיטת פתרון

הוכחת חפיפה היא הסוג הקלאסי של בגרות בגאומטריה. המטרה: להוכיח ששני משולשים זהים בכל הצלעות והזוויות. אחרי החפיפה, אפשר להסיק מסקנות נוספות.

ארבעת משפטי החפיפה

מבנה הוכחת חפיפה

הוכחה סטנדרטית בנויה כשלושה חלקים:

1. רשימת הצלעות והזוויות השוות (לפחות שלוש, מסוג המתאים למשפט).
2. ציון משפט החפיפה המתאים.
3. מסקנה: שאר הצלעות והזוויות שוות.

שיטת הפתרון

1. זהו את המשולשים שצריך להוכיח שחופפים.
2. רשמו את הנתונים שמסכמים את הצלעות והזוויות הידועים.
3. חפשו "מתנות" של הנתונים: צלע משותפת, זוויות קודקודיות, זוויות מתחלפות.
4. בחרו משפט חפיפה שמתאים לנתונים שיש לכם.
5. כתבו את ההוכחה בצורה מסודרת.

דוגמה 1: צ.ז.צ

נתון משולש ABC עם AB = AC. הנקודה D על AB והנקודה E על AC כך ש-AD = AE. הוכיחו ש-BD = CE.

פתרון. נתבונן במשולשים ΔABE ו-ΔACD.

1. AB = AC (נתון)
2. ∠A = ∠A (זווית משותפת)
3. AE = AD (נתון)
4. ΔABE ≅ ΔACD (לפי צ.ז.צ)
5. ⇒ BE = CD

לכן BD = AB − AD = AC − AE = CE. ∎

דוגמה 2: צ.צ.צ

נתון מקבילית ABCD. הוכיחו ש-ΔABC ≅ ΔCDA.

פתרון.

1. AB = CD (צלעות נגדיות במקבילית)
2. BC = AD (צלעות נגדיות במקבילית)
3. AC = AC (צלע משותפת)
4. ΔABC ≅ ΔCDA (לפי צ.צ.צ). ∎

דוגמה 3: ז.צ.ז

נתון משולש שווה-שוקיים ABC עם AB = AC. D על BC כך ש-AD חוצה את זווית A. הוכיחו ש-AD גם תיכון לבסיס BC.

פתרון. נתבונן ב-ΔABD ו-ΔACD.

1. ∠BAD = ∠CAD (AD חוצה זווית, נתון)
2. AB = AC (נתון)
3. ∠ABD = ∠ACD (זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים)

תוצר: ΔABD ≅ ΔACD (לפי ז.צ.ז).

⇒ BD = CD, כלומר D אמצע BC, כלומר AD תיכון. ∎

טעויות נפוצות

1. שימוש ב-"רואים שזה ככה". כל טענה חייבת להישען על משפט או נתון.
2. משפט צ.צ.ז ללא הזווית מול הגדולה. ארבע אפשרויות שונות של "שתי צלעות וזווית" לא כולן מבטיחות חפיפה. רק אם הזווית מול הצלע הגדולה.
3. שכחה לציין משפט החפיפה. אחרי שמראים את שלושת השוויונות, חייב לציין מהו משפט החפיפה.

עמודים קשורים

• משולשים
• הוכחות דמיון
• גאומטריה