הוכחות דמיון משולשים: שלושת המשפטים ויחס דמיון

הוכחת דמיון היא הוכחה ששני משולשים בעלי אותן זוויות אבל ייתכן ובגודל שונה. אחרי הדמיון מקבלים יחס דמיון k שמאפשר לחשב צלעות.

שלושת משפטי הדמיון

יחס דמיון

אם ΔABC ~ ΔDEF ביחס k:

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k$$

יחס שטחים = k²:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = k^2$$

שיטת הפתרון

1. זהו את שני המשולשים שאתם רוצים להוכיח שדומים.
2. חפשו זוויות שוות מקבילים, חוצי זווית, או נתונים.
3. בחרו משפט דמיון מתאים (לרוב ז.ז).
4. כתבו את ההוכחה.
5. שימו לב לסדר הקודקודים: ABC ~ DEF משמעו שזווית A מקבילה ל-D, B ל-E, C ל-F.

דוגמה 1: ז.ז

במשולש ABC, גובה AD ל-BC. הוכיחו ש-ΔABD ~ ΔABC.

פתרון.

1. ∠ADB = 90° (AD גובה)
2. ∠ABD = ∠ABC (זווית משותפת, פנימית של B)

תוצר: שני זוויות שוות. אבל יש בעיה: AD גובה ל-BC, אז זווית BAD = 90° − B במשולש ABD, אבל זווית BAC במשולש ABC לא חייבת להיות 90.

חפש שוב. נכון יותר:

1. ∠ABD = ∠ABC (זווית משותפת)
2. ∠BAC = 90° (אם המשולש ABC ישר זווית; אם לא, לא מתקיים)

הניסוח כללי יותר: ΔABD ~ ΔACB כאשר ΔABC ישר זווית עם זווית A ישרה. אז זווית B משותפת ושני המשולשים ישרי זווית. לפי ז.ז: דומים.

דוגמה 2: יחס דמיון

ΔABC ~ ΔDEF ביחס דמיון 2:3. אם BC = 6 ושטח ΔABC הוא 12, מצאו את EF ואת שטח ΔDEF.

פתרון.

$$EF = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$$

יחס שטחים: (2/3)² = 4/9. אם שטח ΔABC הוא 12:

$$\frac{12}{S_{DEF}} = \frac{4}{9} \implies S_{DEF} = \frac{12 \cdot 9}{4} = 27$$

דוגמה 3: דמיון במשולש עם מקבילים

במשולש ABC, נקודה D על AB ונקודה E על AC כך ש-DE מקביל ל-BC. הוכיחו ש-ΔADE ~ ΔABC.

פתרון.

1. ∠A = ∠A (זווית משותפת)
2. ∠ADE = ∠ABC (זוויות מתאימות מ-DE ‖ BC עם BD חותך)

לפי ז.ז: ΔADE ~ ΔABC. ∎

טעויות נפוצות

1. שכחת לציין סדר קודקודים נכון. הקודקודים בשני המשולשים חייבים להופיע בסדר התואם.
2. בלבול בין יחס דמיון ליחס שטחים. יחס שטחים = יחס דמיון בריבוע.
3. שימוש ב"שתי זוויות" בלי לציין שזה משפט ז.ז. תמיד יש לציין באיזה משפט משתמשים.

עמודים קשורים

• משולשים
• הוכחות חפיפה
• גאומטריה