משולש ישר זווית: פיתגורס, תכונות, ונוסחאות

משולש ישר זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו שווה ל-90°. הוא הבסיס של כל הטריגונומטריה וגם של משפט פיתגורס.

הגדרה

משולש שאחת מזוויותיו ישרה (90°). הצלע מול הזווית הישרה היא היתר. שתי האחרות הן ניצבים.

משפט פיתגורס

עם ניצבים a ו-b ויתר c:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

יחסי טריגונומטריה

עבור זווית A במשולש:

$$\sin A = \frac{\text{ניצב מול}}{\text{יתר}}, \quad \cos A = \frac{\text{ניצב סמוך}}{\text{יתר}}, \quad \tan A = \frac{\text{ניצב מול}}{\text{ניצב סמוך}}$$

ראו טריגונומטריה במשולש ישר זווית.

משולשים מיוחדים

משולש 45-45-90

ניצבים שווים. עם ניצב a:

$$\text{יתר} = a \sqrt{2}$$

משולש 30-60-90

ניצבים ביחס 1 : √3 : 2 (קצר : ארוך : יתר). עם ניצב קצר a:

$$\text{ניצב ארוך} = a \sqrt{3}, \quad \text{יתר} = 2a$$

נוסחאות

עם ניצבים a, b ויתר c:

$$P = a + b + c$$ $$S = \frac{a \cdot b}{2}$$

(הניצבים משמשים כבסיס וכגובה זה לזה.)

דוגמה: חישוב יתר

ניצבים 5 ו-12. חשבו את היתר ואת השטח.

פתרון.

$$c = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ $$S = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$$

דוגמה: חישוב זווית

ניצבים 3 ו-4. מצאו את הזווית מול הניצב 3.

פתרון.

$$\tan A = \frac{3}{4} = 0.75 \implies A \approx 36.87°$$

טעויות נפוצות

1. חישוב פיתגורס בכיוון הפוך. הנוסחה היא a² + b² = c² עם c היתר. לא להפך.
2. שימוש בפיתגורס במשולש לא ישר. תקף רק במשולש ישר זווית.
3. שכחה שהיתר הוא הצלע הארוכה. ומול הזווית הישרה.

עמודים קשורים

• משולש שווה-שוקיים
• משולש שווה-צלעות
• טריגונומטריה במשולש ישר זווית
• משולשים