מצולע משוכלל: תכונות, נוסחאות, וזוויות פנימיות

מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. הוא הצורה הסימטרית של n צלעות.

תכונות כלליות

עבור מצולע משוכלל בעל n צלעות:

1. כל הצלעות שוות.
2. כל הזוויות הפנימיות שוות.
3. קיים מעגל חוסם (עובר בכל הקודקודים) ומעגל חסום (משיק לכל הצלעות במרכזן).
4. n צירי סימטריה.
5. המצולע ניתן לחלוקה ל-n משולשים שווי-שוקיים מהמרכז.

נוסחאות זוויות

סכום הזוויות הפנימיות במצולע n-צלעות:

$$\text{סכום זוויות} = 180° \cdot (n - 2)$$

גודל כל זווית פנימית:

$$\alpha = \frac{180° \cdot (n - 2)}{n}$$

זווית חיצונית (משלימה לזווית פנימית):

$$\beta = \frac{360°}{n}$$

נוסחאות שטח והיקף

עם צלע a ומספר צלעות n:

$$P = n \cdot a$$

שטח:

$$S = \frac{1}{4} n a^2 \cot\left( \frac{180°}{n} \right)$$

(לא תמיד צריך לזכור את הנוסחה הכללית. בבגרות לרוב מחלקים למשולשים.)

עם רדיוס מעגל חסום r:

$$S = \frac{P \cdot r}{2} = \frac{n \cdot a \cdot r}{2}$$

רדיוסי מעגלים

עם צלע a:

$$R = \frac{a}{2 \sin(180°/n)}, \quad r = \frac{a}{2 \tan(180°/n)}$$

מקרים מיוחדים

דוגמה: זווית פנימית של מצולע 10 צלעות

חשבו את הזווית הפנימית של מצולע משוכלל בעל 10 צלעות.

פתרון.

$$\alpha = \frac{180° \cdot 8}{10} = 144°$$

דוגמה: שטח של ריבוע

ריבוע הוא מצולע משוכלל עם n=4. לכן שטח עם צלע a:

$$S = \frac{4 a^2}{4} \cdot \cot(45°) = a^2 \cdot 1 = a^2$$

(מתאים לנוסחת ריבוע הרגילה.)

טעויות נפוצות

1. חישוב סכום זוויות כ-180 · n. שגוי! הנוסחה היא 180 · (n−2).
2. בלבול בין זווית פנימית לחיצונית. סכומן 180°.
3. שימוש בנוסחת מצולע משוכלל למצולע שאינו משוכלל. הנוסחאות תקפות רק כשכל הצלעות והזוויות שוות.

עמודים קשורים

• משושה משוכלל
• משולש שווה-צלעות
• ריבוע