כדור: נוסחאות נפח ושטח פנים

כדור הוא גוף במרחב המוגדר כאוסף כל הנקודות במרחק קבוע (רדיוס) מנקודה קבועה (מרכז). הוא ההכללה של עיגול לשלוש ממדים.

הגדרה

גוף במרחב בעל:

• מרכז O
• רדיוס r: המרחק מהמרכז לכל נקודה על שטח הפנים
• קוטר d = 2r: קטע ארוך ביותר בכדור, עובר במרכז

נוסחאות

עם רדיוס r:

נפח

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

שטח פנים

$$S = 4 \pi r^2$$

דוגמה 1: חישוב נפח

כדור עם רדיוס 6. מצאו נפח ושטח פנים.

פתרון.

$$V = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288 \pi$$ $$S = 4 \pi \cdot 36 = 144 \pi$$

דוגמה 2: מציאת רדיוס מנפח

כדור עם נפח 36π. מצאו את הרדיוס.

פתרון.

$$\frac{4}{3} \pi r^3 = 36 \pi \implies r^3 = 27 \implies r = 3$$

דוגמה 3: יחס נפח ושטח פנים

מצאו את היחס בין נפח לשטח פנים בכדור ברדיוס r.

פתרון.

$$\frac{V}{S} = \frac{(4/3) \pi r^3}{4 \pi r^2} = \frac{r}{3}$$

מעניין: היחס תלוי רק ברדיוס.

חצי-כדור

חצי כדור הוא כדור חתוך באמצע. נפח:

$$V_{\text{חצי}} = \frac{2}{3} \pi r^3$$

שטח פנים (כולל הבסיס המעוין):

$$S_{\text{חצי}} = 2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$$

ראו חצי כדור.

טעויות נפוצות

1. שכחת (4/3) בנפח. הנפח דורש את המקדם 4/3.
2. חישוב שטח פנים כ-πr² (כמו עיגול). שטח פנים של כדור גדול פי 4: 4πr².
3. בלבול בין רדיוס לקוטר. r הוא רדיוס, d=2r הוא קוטר.

עמודים קשורים

• חצי כדור
• גליל
• חרוט
• מעגל