חרוט: נוסחאות נפח, שטח פנים, וקו יוצר

חרוט הוא גוף במרחב שנוצר מסיבוב משולש ישר זווית סביב אחת מהניצבים. יש לו בסיס עגול וקודקוד יחיד מעל.

הגדרה

גוף במרחב עם:

• בסיס עגול (רדיוס r)
• קודקוד עליון מעל מרכז הבסיס (חרוט ישר)
• גובה h (המרחק האנכי מהקודקוד לבסיס)
• קו יוצר l (המרחק מהקודקוד לשפת הבסיס)

קשר בין הגבהים

לפי משפט פיתגורס:

$$l^2 = r^2 + h^2$$

נוסחאות

עם רדיוס r, גובה h, וקו יוצר l:

נפח

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

(שליש שטח בסיס כפול גובה, כמו כל פירמידה.)

שטח מעטפת

$$S_{\text{מעטפת}} = \pi r l$$

(כשפותחים את המעטפת היא הופכת לגזרת מעגל ברדיוס l.)

שטח פנים כולל

$$S_{\text{פנים}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)$$

דוגמה 1: חישוב בסיסי

חרוט עם רדיוס 3 וגובה 4. מצאו קו יוצר, נפח, ושטח פנים.

פתרון.

$$l = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12 \pi$$ $$S = \pi \cdot 3 (5 + 3) = 24 \pi$$

דוגמה 2: מציאת גובה

חרוט עם רדיוס 5 וקו יוצר 13. מצאו את הגובה ואת הנפח.

פתרון.

$$h = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100 \pi$$

טעויות נפוצות

1. שכחת חלוקה ב-3 בנפח. חרוט הוא פירמידה עגולה, ויש חלוקה ב-3.
2. שימוש בגובה במקום בקו יוצר בנוסחת מעטפת. הנוסחה דורשת πrl, לא πrh.
3. חישוב פיתגורס בכיוון הפוך. הקו יוצר הוא היתר של המשולש r-h-l, ולכן l² = r² + h².

עמודים קשורים

• גליל
• כדור
• חרוט קטום
• פירמידה משוכללת