חרוט קטום: נוסחאות נפח ושטח פנים

חרוט קטום הוא חרוט שחתכו את החלק העליון שלו במישור מקביל לבסיס. נשאר גוף עם שני בסיסים עגולים שונים ומעטפת מתעקלת.

הגדרה

גוף במרחב עם:

• בסיס תחתון עגול ברדיוס R
• בסיס עליון עגול ברדיוס r (קטן מ-R)
• גובה h: המרחק האנכי בין שני הבסיסים
• קו יוצר l: המרחק על המעטפת בין הבסיסים

קשר בין הגבהים

לפי משפט פיתגורס:

$$l^2 = h^2 + (R - r)^2$$

(הפרש הרדיוסים הוא הניצב האופקי של המשולש שמתקבל.)

נוסחאות

עם רדיוסים R, r וגובה h:

נפח

$$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + R r + r^2)$$

שטח מעטפת

$$S_{\text{מעטפת}} = \pi l (R + r)$$

שטח פנים כולל

$$S_{\text{פנים}} = \pi l (R + r) + \pi R^2 + \pi r^2$$

(מעטפת + שני בסיסים.)

דוגמה 1: חישוב נפח

חרוט קטום עם R=5, r=3, גובה 4. מצאו נפח.

פתרון.

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot (25 + 15 + 9) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 49 = \frac{196 \pi}{3}$$

דוגמה 2: שטח מעטפת

חרוט קטום עם R=8, r=2, גובה 8. מצאו שטח מעטפת.

פתרון. קו יוצר:

$$l = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ $$S_{\text{מעטפת}} = \pi \cdot 10 \cdot (8 + 2) = 100 \pi$$

טעויות נפוצות

1. שימוש בנוסחת חרוט רגיל. חרוט קטום שונה: יש שני רדיוסים.
2. שכחת הביטוי R² + Rr + r² בנפח. זוהי נוסחה ייחודית.
3. חישוב שגוי של קו יוצר. הניצב האופקי הוא הפרש הרדיוסים, לא הסכום.

עמודים קשורים

• חרוט
• גליל
• גליל קטום