משולש 45-45-90: יחסי צלעות וזהויות

משולש 45-45-90 הוא משולש ישר זווית עם שני זוויות בנות 45° וזווית ישרה אחת. זהו משולש שווה-שוקיים ישר זווית.

זוויות

• 45° (שני קודקודים)
• 90° (קודקוד הזווית הישרה)

יחס הצלעות

שני הניצבים שווים. היתר הוא ניצב כפול √2:

$$1 : 1 : \sqrt{2}$$

באופן מפורט:

• שני ניצבים שווים (מול הזוויות 45°): a כל אחד
• יתר (מול הזווית 90°): a√2

הוכחה

אם שני הניצבים שווים, המשולש שווה-שוקיים. שאר הזוויות חייבות להיות שוות (זוויות הבסיס), וסכומן עם הזווית הישרה הוא 180°. לכן כל אחד 45°.

לפי פיתגורס:

$$\text{יתר}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies \text{יתר} = a\sqrt{2}$$

דוגמה 1: חישוב יתר

ניצב 7. מצאו את היתר.

פתרון.

$$\text{יתר} = 7\sqrt{2}$$

דוגמה 2: מציאה מהיתר

יתר 10. מצאו את הניצבים.

פתרון.

$$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$$

דוגמה 3: שטח

משולש 45-45-90 עם ניצב 6. מצאו את השטח.

פתרון.

$$S = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18$$

ערכי טריגונומטריה

(שני היחסים שווים כי הניצבים שווים, ו-tan = 1 כי ניצב/ניצב = 1.)

טעויות נפוצות

1. חישוב היתר כ-2a במקום a√2. ה-2a הוא בערך 2 (פי 2), a√2 הוא בערך 1.414.
2. חישוב ניצב מיתר כ-יתר/2 במקום יתר/√2.

עמודים קשורים

• משולש 30-60-90
• משולש ישר זווית
• ריבוע
• טריגונומטריה במשולש ישר זווית