משולש 30-60-90: יחסי צלעות וזהויות

משולש 30-60-90 הוא משולש ישר זווית עם זוויות 30°, 60°, ו-90°. הוא בעל יחסי צלעות פשוטים ומופיע בתכיפות בבעיות בגרות.

זוויות

• 30° (קודקוד אחד)
• 60° (קודקוד אחר)
• 90° (קודקוד הזווית הישרה)

יחס הצלעות

הצלעות, מהקצרה לארוכה, ביחס:

$$1 : \sqrt{3} : 2$$

באופן מפורט:

• ניצב קצר (מול הזווית 30°): a
• ניצב ארוך (מול הזווית 60°): a√3
• יתר (מול הזווית 90°): 2a

הוכחה

מחלקים משולש שווה-צלעות עם צלע 2a על-ידי הגובה לאחת הצלעות. מקבלים שני משולשים זהים. בכל אחד:

• הצלע המקורית של המשולש שווה-צלעות הופכת ליתר: 2a
• חצי הבסיס הופך לניצב קצר: a
• הגובה הוא הניצב הארוך: a√3 (לפי פיתגורס: (2a)² − a² = 3a²)

דוגמה 1: חישוב צלעות

ניצב קצר 5. מצאו את הניצב הארוך ואת היתר.

פתרון.

$$\text{ניצב ארוך} = 5\sqrt{3}, \quad \text{יתר} = 10$$

דוגמה 2: מציאה מהיתר

יתר 12. מצאו את שני הניצבים.

פתרון.

$$\text{ניצב קצר} = 6, \quad \text{ניצב ארוך} = 6\sqrt{3}$$

דוגמה 3: שטח

משולש 30-60-90 עם ניצב קצר 4. מצאו את השטח.

פתרון. ניצב ארוך: 4√3. שטח:

$$S = \frac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}$$

ערכי טריגונומטריה

ניתן לזכור: sin 30° = cos 60° וגם sin 60° = cos 30° (זוויות משלימות).

טעויות נפוצות

1. בלבול בין הניצב הקצר לארוך. הקצר מול הזווית הקטנה (30°), הארוך מול הזווית הגדולה (60°).
2. חישוב הניצב הארוך כ-2a במקום a√3. ה-2a הוא היתר.

עמודים קשורים

• משולש 45-45-90
• משולש ישר זווית
• משולש שווה-צלעות
• טריגונומטריה במשולש ישר זווית