משולש חד-זוויות: הגדרה, תכונות, וזיהוי

משולש חד-זוויות הוא משולש שכל שלוש זוויותיו חדות (קטנות מ-90°). זהו מקרה שונה ממשולש ישר זווית ומשולש קהה זווית.

הגדרה

משולש חד-זוויות מקיים:

$$\angle A < 90°, \quad \angle B < 90°, \quad \angle C < 90°$$

ולפי סכום הזוויות במשולש:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$

תכונות

1. כל הגבהים נמצאים בתוך המשולש.
2. מרכז המעגל החוסם נמצא בתוך המשולש. (במשולש קהה הוא בחוץ, במשולש ישר הוא במרכז היתר.)
3. בכלל הקוסינוסים, cos C חיובי לכל זווית, כי כל הזוויות פחות מ-90°.

זיהוי לפי צלעות

ניתן לזהות שמשולש חד-זוויות בלי לחשב זוויות, בעזרת מבחן הצלעות:

$$\text{אם } c^2 < a^2 + b^2 \text{ עבור הצלע הארוכה ביותר } c, \text{ אז המשולש חד-זוויות}$$

(אם שווה, ישר זווית. אם גדול, קהה זווית.)

דוגמה: זיהוי

האם משולש עם צלעות 5, 6, 7 חד-זוויות?

פתרון. הצלע הארוכה היא 7. נבדוק:

$$7^2 = 49, \quad 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$$

49 קטן מ-61, אז המשולש חד-זוויות.

דוגמה: חישוב זווית

במשולש עם צלעות 4, 5, 6, מצאו את הזווית הגדולה ביותר ובדקו שהיא חדה.

פתרון. הזווית הגדולה מול הצלע הארוכה (6). לפי כלל הקוסינוסים:

$$\cos C = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = 0.125$$ $$C = \arccos(0.125) \approx 82.82°$$

קטן מ-90°. המשולש חד-זוויות.

טעויות נפוצות

1. בדיקת זווית אחת בלבד. כל שלוש הזוויות חייבות להיות חדות.
2. שימוש בכלל הסינוסים לבחירה. הזיהוי הוודאי הוא דרך הצלעות עם כלל הקוסינוסים.

עמודים קשורים

• משולש קהה זווית
• משולש ישר זווית
• משולש שווה-צלעות
• משולשים