שכחת שמשיק ניצב לרדיוס: הטעות במעגלים

המשפט: המשיק למעגל בנקודה כלשהי ניצב לרדיוס בנקודה הזו. זהו אחד המשפטים הבסיסיים בגאומטריה של מעגלים, ובלעדיו לא ניתן לפתור רוב הבעיות שמערבות משיקים.

ניסוח

נתון מעגל עם מרכז O. נקודה A על המעגל. הקו t הוא המשיק למעגל ב-A. אז:

$$OA \perp t$$

כלומר, הזווית בין הרדיוס OA למשיק t היא 90°.

הטעות הקלאסית

נתון: מעגל עם מרכז O, רדיוס 5. נקודה P חיצונית למעגל במרחק 13 מהמרכז. ממנה יוצא משיק למעגל בנקודה T. מצאו את אורך המשיק PT.

טעות: התלמיד מנסה לפתור באמצעות משולש כלשהו, אבל לא מזהה את הזווית הישרה בין OT לבין PT.

נכון: במשולש OTP, הזווית ב-T היא 90° (כי OT ניצב ל-PT). אז זה משולש ישר זווית, ולפי פיתגורס:

$$PT^2 + OT^2 = OP^2 \implies PT^2 + 25 = 169 \implies PT^2 = 144 \implies PT = 12$$

תשובה: PT = 12.

כלי שימושי בהוכחות

המשפט מאפשר:

1. בנייה של משולש ישר זווית עם רדיוס וקו מהמרכז לנקודה חיצונית.
2. שימוש בפיתגורס במשולש הזה.
3. חישוב אורך משיק מנקודה חיצונית: T² = OP² − R².

משפט נוסף: שני משיקים מאותה נקודה

מנקודה חיצונית P, אפשר להעביר שני משיקים למעגל. שתי נקודות המגע מסומנות T₁, T₂. אז:

$$PT_1 = PT_2$$

כלומר, אורכי שני המשיקים שווים. זוהי תוצאה ישירה מהמשפט הקודם.

הוכחה: במשולש OT₁P ומשולש OT₂P, הזווית ב-T ישרה בשניהם, OT₁ = OT₂ = R (רדיוסים), ו-OP משותף. צ.צ.צ או משפט פיתגורס נותנים PT₁ = PT₂.

דוגמה. שאלה שמשתמשת בשני המשפטים

נתון: מעגל עם מרכז O. שני משיקים מנקודה P, פוגעים בנקודות A ו-B. ידוע: PA = 8 ו-OP = 10. מצאו רדיוס.

שלב 1. במשולש OAP, הזווית ב-A ישרה (משיק ניצב לרדיוס).

שלב 2. מפיתגורס:

$$OA^2 + AP^2 = OP^2 \implies OA^2 + 64 = 100 \implies OA = 6$$

תשובה: רדיוס 6.

איך להימנע

1. בכל בעיית מעגל ומשיק, סמנו מיד את הזווית הישרה בין הרדיוס לנקודת המגע. ציור ברור עוזר לזכור.
2. חפשו משולש ישר זווית. אם יש מרכז, רדיוס, ומשיק, חוקר הזה הוא הכלי הסטנדרטי.
3. אל תניחו לוואי. אם השאלה לא נותנת זווית ישרה ישירות, היא נתונה מעצם המשפט.

משפטים קשורים

• משיק וקשר ניצב למיתר: רדיוס שיורד אנכית למיתר חוצה אותו.
• משפט הזווית בין מיתר ומשיק: הזווית בין משיק לבין מיתר שיוצא מנקודת המגע שווה לזווית ההיקפית שעומדת על אותו מיתר מהצד השני.

עמודים קשורים

• משפט הזווית בין מיתר ומשיק
• הוכחות מעגל
• מעגל
• משוואת מעגל