זווית בין מיתר ומשיק במעגל: הסבר ושימושים

משפט הזווית בין מיתר ומשיק הוא משפט שימושי במצב נפוץ בבגרות: מעגל עם משיק חיצוני ומיתר היוצא מנקודת ההשקה. הוא קושר בין הזווית שנוצרת לבין זוויות היקפיות על המעגל.

ניסוח המשפט

נקודת השקה T של משיק. מיתר TA יוצא מ-T אל נקודה A על המעגל. אזי הזווית בין המשיק לבין המיתר TA שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת TA שמהצד השני של המיתר.

באופן סימבולי: אם B נקודה על הקשת שמהצד השני, אז:

$$\angle \text{בין משיק ל-TA} = \angle TBA$$

הוכחה

נסמן את המרכז O ואת הרדיוס OT. הוא מאונך למשיק (משפט המשיק והרדיוס). נסמן את הזווית בין המשיק והמיתר TA ב-α. הזווית בין OT למיתר TA היא 90° − α.

המשולש OTA שווה-שוקיים (OT = OA = רדיוס). לכן זווית OAT שווה גם היא ל-90° − α. סכום הזוויות במשולש: זווית AOT = 180° − 2(90° − α) = 2α.

הזווית AOT היא הזווית המרכזית של הקשת TA שמהצד שאליו α נמצאת. לפי משפט הזווית ההיקפית, הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת מהצד השני שווה לחצי הזווית המרכזית הזו, כלומר α. וזה בדיוק מה שרצינו להוכיח.

דוגמה 1: שימוש פשוט

במעגל, T נקודת השקה של משיק. הזווית בין המשיק לבין המיתר TA היא 35°. B נקודה על המעגל מהצד השני של המיתר. מצאו את זווית TBA.

פתרון. לפי המשפט:

$$\angle TBA = 35°$$

דוגמה 2: שילוב עם זוויות אחרות

במשולש חסום במעגל ABC, ABT הוא משיק במשיק נקודת T שגם נקודה על המעגל. ידוע זווית BAC = 50°. מצאו את הזווית בין המשיק לבין AB.

פתרון. לפי משפט הזווית בין מיתר ומשיק, הזווית בין המשיק ל-AB שווה לזווית ההיקפית הנשענת על AB מהצד השני, שהיא בדיוק זווית ACB. כי המשולש ABT נמצא בו, ובאמת ב-AB נשענת זווית ACB.

עם זאת השאלה נתנה זווית BAC = 50°. צריך עוד מידע על המשולש. אם נתון שהוא שווה-שוקיים BC = AC, אז זוויות הבסיס שוות. סכום זוויות 180°: 50° + 2·זווית הבסיס = 180°, כלומר זווית הבסיס = 65°. לכן הזווית בין המשיק ל-AB שווה ל-65°.

טעויות נפוצות

1. בלבול בין שתי הזוויות בצדדי המיתר. הזווית מצד אחד שווה לזווית היקפית מהצד השני (סכומן 180°).
2. שכחה שהמשפט דורש שהמשיק יוצא מנקודה על המעגל. אם המשיק רק חיצוני, המשפט אינו ישיר.
3. שימוש לא נכון יחד עם משפט המשיק והרדיוס. שני המשפטים תקפים, אבל זוויות שונות.

עמודים קשורים

• משפט הזווית ההיקפית
• מעגל
• משפטי המעגל