סדר שגוי בכלל המנה: למה לא להחליף בין המונה למכנה

כלל המנה: אם y = f(x)/g(x), אז:

$$y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$$

הסדר במונה חשוב. אם מחליפים בין f' g ל-f g', הסימן של הנגזרת מתהפך לחלוטין.

הטעות הקלאסית

גזרו: y = x / (x² + 1).

טעות שכיחה:

$$y' = \frac{x \cdot 2x - 1 \cdot (x^2 + 1)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 - 1}{(x^2+1)^2}$$

הוחלפו f'g ו-fg', התוצאה הפוכה בסימן.

נכון:

$$y' = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$$

החילוף משנה את הסימן: (x² − 1) נהפך ל-(1 − x²). ההשפעה גדולה על שלב הניתוח של נקודות קיצון.

טיפ זיכרון

חרוז עברי: "גזירה של עליון כפול תחתון, פחות עליון כפול גזירה של תחתון, חלקי תחתון בריבוע."

באנגלית: "Low D-High minus High D-Low, all over Low squared".

תמיד מתחילים מהגזירה של המונה. זה הסדר הנכון.

אלטרנטיבה. דרך כלל המכפלה

אפשר לעקוף את כלל המנה לחלוטין על ידי כתיבה מחדש:

$$\frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot g(x)^{-1}$$

ואז מפעילים כלל מכפלה ושרשרת. לעיתים זה מהיר יותר ומפחית טעויות סדר.

דוגמה.

$$y = \frac{x}{x^2+1} = x(x^2+1)^{-1}$$ $$y' = 1 \cdot (x^2+1)^{-1} + x \cdot (-1)(x^2+1)^{-2} \cdot 2x$$ $$= \frac{1}{x^2+1} - \frac{2x^2}{(x^2+1)^2}$$

מאחדים מכנה:

$$= \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$$

אותה תשובה.

דוגמאות נוספות

איך להימנע

1. רשמו את הנוסחה במלואה לפני שמחליפים פנימה. לא קיצורי דרך.
2. התחילו תמיד מ-f'. אם מתחילים מ-f g', יש סיכוי גדול לטעות בסימן.
3. בדקו את הסימן באמצעות הצבת ערך פשוט. למשל ב-x = 1, ראו אם הנגזרת חיובית או שלילית, ובדקו שזה תואם להתנהגות הצפויה.

עמודים קשורים

• כלל המנה
• כלל המכפלה
• כלל השרשרת
• שכחת כלל השרשרת