בלבול בין זווית מרכזית לזווית היקפית: יחס 2 ל-1

המשפט הקלאסי: זווית מרכזית גדולה פי שניים מזווית היקפית שעומדת על אותו קשת. בלבול בין שתי הזוויות הוא טעות נפוצה בהוכחות מעגליות בבגרות.

ניסוח רשמי

נתון מעגל עם מרכז O. נקודות A, B, C על המעגל. נסמן:

• זווית מרכזית ∠AOB: קודקודה ב-O, הצלעות OA ו-OB.
• זווית היקפית ∠ACB: קודקודה ב-C על המעגל, הצלעות CA ו-CB.

שתיהן עומדות על אותו קשת AB (הקשת שלא מכילה את C). אז:

$$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB$$

הטעות הקלאסית

נתון: זווית היקפית של 30° על קשת מסוימת. מצאו את הזווית המרכזית על אותו קשת.

טעות: הצבת 30° כזווית המרכזית.

נכון: הזווית המרכזית פי שניים: 60°.

טעות הפוכה

נתון: זווית מרכזית של 120°. מצאו את הזווית ההיקפית.

טעות: הצבת 120° כזווית ההיקפית.

נכון: הזווית ההיקפית חצי: 60°.

איך לזהות

משפטים נובעים

• משפט תאלס. זווית היקפית על קוטר היא 90°. (מאחר שהזווית המרכזית על קוטר היא 180°.)
• זוויות היקפיות על אותו קשת שוות זו לזו. כי שתיהן חצי מאותה זווית מרכזית.
• זווית בין שני מיתרים שיוצאים מאותה נקודה. שווה לחצי סכום הקשתות הנגדיות.

דוגמה. שאלת בגרות

נתון: זוויות היקפיות ∠ACB ו-∠ADB שניהם על אותו קשת AB. הוכיחו ש-∠ACB = ∠ADB.

פתרון.

1. שתי הזוויות הן זוויות היקפיות על קשת AB.
2. שתיהן שוות לחצי מהזווית המרכזית ∠AOB המקבילה לאותו קשת.
3. לכן הן שוות זו לזו.

מ.ש.ל.

טעות נוספת. קשת על שני צדדים

לכל מיתר AB יש שני קשתות: קשת "קטנה" וקשת "גדולה". הזווית ההיקפית שעומדת על הקשת הקטנה לעומת על הגדולה הן משלימות ל-180° (סכומן 180°), לא שוות.

דוגמה. קודקוד C ברביע אחד של המעגל, וקודקוד D ברביע ההפוך. אז ∠ACB עומדת על קשת אחת, ו-∠ADB עומדת על הקשת השנייה. סכומן 180°.

זוהי גם הסיבה מדוע במרובע חוסם מעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180°.

איך להימנע

1. סמנו את המרכז O בכל בעיית מעגל. אם המרכז לא חלק מהזווית, היא לא מרכזית.
2. בדקו אם הקודקוד במרכז או על המעגל. זה מבדיל מיד בין שני סוגי זוויות.
3. לפני שמיישמים משפט, רשמו את הקשת המתאימה. שתי הזוויות חייבות לעמוד על אותו קשת.

עמודים קשורים

• משפט הזווית ההיקפית
• משפט הזווית בין מיתר ומשיק
• הוכחות מעגל
• מרובע חוסם מעגל