איך להשתמש במשפט פיתגורס: זיהוי וחישוב

משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים הבסיסיים בגאומטריה. במשולש ישר זווית עם ניצבים a, b ויתר c:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

גרסת ההפך

אם בשלוש צלעות מתקיים a² + b² = c², אז המשולש ישר זווית. זוהי דרך מהירה לזהות משולשים ישרי זווית.

דוגמה 1: חישוב יתר

נתון: ניצבים באורך 3 ו-4. מצאו יתר.

$$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies c = 5$$

זהו "המשולש הפיתגוראי" המפורסם (3, 4, 5).

דוגמה 2: חישוב ניצב

נתון: יתר 13, ניצב אחד 5. מצאו את הניצב השני.

$$5^2 + b^2 = 13^2 \implies b^2 = 169 - 25 = 144 \implies b = 12$$

משולשים פיתגוראיים שכיחים

כפולים אלה (כמו 6, 8, 10 = פי 2 של 3, 4, 5) גם פיתגוראיים. שווה לזכור את הבסיסיים.

איפה משתמשים במשפט

במישור

• מרחק בין שתי נקודות. הנוסחה היא יישום של פיתגורס. ראו נוסחת מרחק.
• אלכסון ריבוע ומלבן. באלכסון ריבוע צלע a: d = a√2. במלבן: d = √(a² + b²).
• גובה משולש שווה צלעות. משולש שווה צלעות עם צלע a יש לו גובה a√3/2.

במרחב

• קוטר תיבה. תיבה עם ממדים a, b, c יש לה קוטר d = √(a² + b² + c²).
• גובה פירמידה. דרך משולש פיתגוראי בין הגובה, חצי הבסיס, והסרט.

דוגמה. אלכסון ריבוע

ריבוע עם צלע 4. חישוב אלכסון:

$$d = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

דוגמה. גובה פירמידה

פירמידה מרובעת ישרה עם בסיס ריבועי בצלע 6 ואורך צלע צדדית 5. מצאו גובה.

שלב 1. מרכז הבסיס נמצא במרחק חצי האלכסון מהקודקוד. חצי האלכסון = 6√2/2 = 3√2.

שלב 2. במשולש פיתגוראי שבין הגובה, חצי האלכסון, והצלע הצדדית:

$$h^2 + (3\sqrt{2})^2 = 5^2 \implies h^2 + 18 = 25 \implies h^2 = 7 \implies h = \sqrt{7}$$

דוגמה. גובה משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים עם שוקיים 10 ובסיס 16. מצאו גובה לבסיס.

שלב 1. הגובה מהקודקוד חוצה את הבסיס. חצי הבסיס = 8.

שלב 2. במשולש פיתגוראי שבין הגובה, חצי הבסיס, והשוק:

$$h^2 + 8^2 = 10^2 \implies h^2 = 36 \implies h = 6$$

גרסת ההפך בפעולה

נתון: צלעות 7, 24, 25. האם זה משולש ישר זווית?

בדיקה: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². כן.

פיתגורס בעיגול

אם רדיוס r ומיתר במרחק d מהמרכז, חצי המיתר הוא √(r² − d²) ואורך המיתר 2√(r² − d²).

זה ישום ישיר של פיתגורס במשולש שבין המרכז, נקודת אמצע המיתר, וקצה המיתר.

דוגמה. מרחק נקודה לקו

לחישוב מרחק מנקודה לקו אנליטי, מעבירים קו ניצב, וקיבולת פיתגוראית. אבל בדרך כלל משתמשים בנוסחה ישירה ב-(x₀, y₀) ובקו ax + by + c = 0:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

טעויות נפוצות

• בלבול בין יתר לניצב. היתר תמיד הצלע הארוכה ביותר, מול הזווית הישרה.
• שימוש בפיתגורס במשולש שאינו ישר זווית. אז צריך משפט הקוסינוסים.
• שכחת לקחת שורש. הנוסחה נותנת c², לא c.

עמודים קשורים

• משולש ישר זווית
• משפט הקוסינוסים
• נוסחת מרחק
• פותר משולש ישר זווית