איך לפתור מערכת משוואות: שלוש שיטות עיקריות

מערכת משוואות בשני נעלמים מופיעה בכל סוג של שאלות בגרות, מבעיות מילוליות ועד גאומטריה אנליטית. שלוש שיטות סטנדרטיות מאפשרות לפתור כל מערכת לינארית.

שיטה 1: הצבה

מבודדים משתנה אחד באחת המשוואות, ומציבים בשנייה.

דוגמה.

$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - y = 8 \end{cases}$$

מהראשונה: y = 7 − 2x. הצבה בשנייה:

$$3x - (7 - 2x) = 8 \implies 5x - 7 = 8 \implies x = 3$$

ואז y = 7 − 6 = 1. תשובה: (3, 1).

שיטה 2: השוואה

מבודדים אותו משתנה בשתי המשוואות, ואז משווים.

דוגמה.

$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 7 \end{cases}$$

מאחר ששתי המשוואות שוות ל-y:

$$2x + 1 = -x + 7 \implies 3x = 6 \implies x = 2$$

ואז y = 5. תשובה: (2, 5).

שיטה 3: חיבור (אלימינציה)

מכפילים את המשוואות במספרים מתאימים כדי להפוך את המקדמים של אחד הנעלמים להפוכים. אחר כך מחברים.

דוגמה.

$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$$

המקדמים של y הם 2 ו-−2. חיבור מיד מאפס את y:

$$8x = 16 \implies x = 2$$

הצבה לראשונה: 6 + 2y = 12, אז y = 3. תשובה: (2, 3).

דוגמה מורכבת. שיטת חיבור עם הכפלה

$$\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 4x - 5y = -7 \end{cases}$$

המקדמים של x הם 2 ו-4. כדי לבטל את x, מכפילים את הראשונה ב-−2:

$$\begin{cases} -4x - 6y = -26 \\ 4x - 5y = -7 \end{cases}$$

חיבור:

$$-11y = -33 \implies y = 3$$

הצבה: 2x + 9 = 13, אז x = 2. תשובה: (2, 3).

מערכת לא לינארית

אם משוואה אחת ריבועית, בדרך כלל שיטת הצבה היא הנכונה.

דוגמה.

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + y = 7 \end{cases}$$

מהשנייה: y = 7 − x. הצבה:

$$x^2 + (7 - x)^2 = 25 \implies x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25$$ $$2x^2 - 14x + 24 = 0 \implies x^2 - 7x + 12 = 0 \implies (x-3)(x-4) = 0$$

x = 3 או x = 4. בהתאם, y = 4 או y = 3. תשובה: (3, 4) או (4, 3).

פתרון בגאומטריה אנליטית

מערכת משוואות מופיעה לעיתים קרובות במציאת נקודות חיתוך בין:

• שני קווים: שיטת חיבור או הצבה.
• קו ומעגל: בידוד y מהקו, הצבה במעגל. מקבלים משוואה ריבועית.
• שני מעגלים: חיסור משוואות מסלק את x² ו-y², מקבלים משוואת קו. הצבה במעגל.

מקרים מיוחדים

מערכת ללא פתרון: קוים מקבילים. תוצאת החיבור: 0 = c עם c ≠ 0. אין פתרון.

מערכת תלויה: אותה משוואה כפול קבוע. תוצאת החיבור: 0 = 0. אינסוף פתרונות.

איך לבחור שיטה

עמודים קשורים

• משוואות מקושרות
• נוסחת השורשים
• נוסחאות קו ישר
• משוואת מעגל