מערכת משוואות לבגרות: לינארית, ריבועית, ושיטות פתרון

מערכת משוואות היא אוסף משוואות שצריך לפתור יחד. הפתרון הוא ערכי המשתנים שמקיימים את כל המשוואות בו-זמנית.

סוגים נפוצים בבגרות

שיטות פתרון

שיטת ההצבה

1. בידוד משתנה אחד מאחת המשוואות.
2. הצבה במשוואה השנייה.
3. פתרון משוואה בודדת.
4. החזרה למשתנה הראשון.

שיטת ההשוואה

1. בידוד אותו משתנה משתי המשוואות.
2. השוואה של שני הביטויים.
3. פתרון.

שיטת החיסור (אלימינציה)

1. כפילו אחת או שתי המשוואות במספרים כך שמקדמי משתנה אחד יהיו זהים (או נגדיים).
2. חברו או חסרו את המשוואות לקבלת משוואה עם משתנה אחד.
3. פתרון וחזרה.

דוגמה 1: מערכת לינארית

פתרו: 2x + y = 7 ו-x − y = 2.

פתרון (שיטת חיבור):

$$2x + y + x - y = 7 + 2 \implies 3x = 9 \implies x = 3$$

הצבה במשוואה השנייה: 3 − y = 2 ⇒ y = 1.

פתרון: (3, 1).

דוגמה 2: לינארית-ריבועית

פתרו: x + y = 5 ו-x² + y² = 13.

פתרון (הצבה). מהמשוואה הלינארית: y = 5 − x. הצבה:

$$x^2 + (5 - x)^2 = 13 \implies 2x^2 - 10x + 12 = 0 \implies x^2 - 5x + 6 = 0$$

לפי וייטה: x = 2 או x = 3.

• x = 2: y = 3.
• x = 3: y = 2.

שני פתרונות: (2, 3) ו-(3, 2).

דוגמה 3: ריבועית-ריבועית

פתרו: x² + y² = 25 ו-x² − y² = 7.

פתרון (חיבור): 2x² = 32 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4.

חיסור: 2y² = 18 ⇒ y² = 9 ⇒ y = ±3.

ארבעה פתרונות: (4, 3), (4, −3), (−4, 3), (−4, −3).

דוגמה 4: עם פרמטר

לאיזה ערכי k יש למערכת y = 2x + k ו-y = x² + 1 פתרון יחיד?

פתרון. משוואה: 2x + k = x² + 1 ⇒ x² − 2x + (1 − k) = 0.

פתרון יחיד: דיסקרימיננטה אפס.

$$4 - 4(1 - k) = 0 \implies k = 0$$

טעויות נפוצות

1. שכחה לבדוק את שני המשתנים בפתרונות לזוגות. אחרי שמצאו x, צריך לחשב y.
2. חישוב פתרונות "מצליבים" שלא קיימים. כש-x² = 16 ו-y² = 9, צריך לבדוק אילו זוגות מקיימים את שתי המשוואות המקוריות.
3. בלבול בין שיטות. ההצבה והחיסור נותנים אותה תוצאה, רק עם דרך חישוב שונה.

עמודים קשורים

• משוואות
• נוסחת השורשים
• סוגי שאלות