איך לפתור משוואה לוגריתמית: מדריך שלב-אחר-שלב

משוואה לוגריתמית מצריכה זהירות יתרה. תחום ההגדרה חיוני, והתעלמות ממנו היא הטעות הנפוצה ביותר.

שלב 1: רשמו את תחום ההגדרה

לכל ביטוי תחת לוגריתם, רשמו (תוכן הלוגריתם) > 0. אחדו את התנאים עם "וגם". התחום הסופי הוא חיתוך כולם.

דוגמה. log(x − 1) + log(x + 3) = log(5). תחום:

• x − 1 > 0, כלומר x > 1.
• x + 3 > 0, כלומר x > −3.
• חיתוך: x > 1.

שלב 2: אחדו לוגריתמים

השתמשו בחוקי הלוגריתם כדי להפוך את שני הצדדים ללוגריתם יחיד או להעלים את הלוגריתם.

בדוגמה:

$$\log((x-1)(x+3)) = \log(5)$$

שלב 3: השוו ביטויים

אם שני הצדדים הם לוגריתם של אותו בסיס, התוכן שווה:

$$(x-1)(x+3) = 5$$

שלב 4: פתרו את המשוואה האלגברית

פותחים סוגריים ופותרים:

$$x^2 + 2x - 3 = 5 \implies x^2 + 2x - 8 = 0 \implies (x+4)(x-2) = 0$$

פתרונות: x = −4 או x = 2.

שלב 5: סננו את הפתרונות

חוזרים לתחום ההגדרה: x > 1. הפתרון x = −4 לא מקיים, נפסל. הפתרון x = 2 מקיים, קביל.

תשובה: x = 2.

דוגמה 2: לוגריתם בריבוע

פתרו: log²(x) − 3 log(x) + 2 = 0.

שלב 1. תחום: x > 0.

שלב 2. הצבה. ניתן t = log(x). המשוואה הופכת ל:

$$t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t-1)(t-2) = 0$$

t = 1 או t = 2.

שלב 3. חזרה ל-x.

• log(x) = 1: x = 10.
• log(x) = 2: x = 100.

שלב 4. בדיקה: שתי הערכים x = 10 ו-x = 100 בתחום x > 0. שתיהן תשובות.

דוגמה 3: בסיסים שונים

פתרו: log₂(x) + log₄(x) = 3.

שלב 1. תחום: x > 0.

שלב 2. שינוי בסיס. הופכים את log₄(x) לבסיס 2:

$$\log_4(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(x)}{2}$$

המשוואה:

$$\log_2(x) + \frac{\log_2(x)}{2} = 3 \implies \frac{3 \log_2(x)}{2} = 3 \implies \log_2(x) = 2$$

שלב 3. x = 2² = 4.

שלב 4. בדיקה: x = 4 בתחום. אישור.

טעויות נפוצות

• שכחת תחום ההגדרה.
• שכחה לפסול פתרונות שלא בתחום.
• בלבול בין log(a)·log(b) (אין נוסחה כזו) לבין log(ab) = log(a) + log(b).
• אי-העלאה של n ב-log(aⁿ) לחזקה במקום מקדם.

עמודים קשורים

• משוואה לוגריתמית
• חוקי לוגריתם
• שינוי בסיס
• שכחת תחום ההגדרה