איך לפתור משוואה מעריכית: מדריך עם שלוש שיטות עיקריות

משוואה מעריכית היא משוואה שבה הנעלם מופיע במעריך של חזקה, כמו 2ˣ = 8. יש שלוש שיטות עיקריות לפתרון.

שיטה 1: השוואת בסיסים

אם שני הצדדים ניתנים להבעה כחזקות של אותו בסיס, המעריכים שווים:

$$a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x)$$

דוגמה. 2^(x+1) = 32.

32 = 2⁵. אז:

$$2^{x+1} = 2^5 \implies x + 1 = 5 \implies x = 4$$

דוגמה מורכבת. 9^x = 27^(x−1).

נכתב ב-3: 9 = 3² ו-27 = 3³.

$$3^{2x} = 3^{3(x-1)} \implies 2x = 3x - 3 \implies x = 3$$

שיטה 2: הצבה ל-t

כשהמשוואה מכילה גם aˣ וגם (aˣ)², או שני ביטויים שונים שתלויים ב-aˣ, הצבה מקלה.

דוגמה. 4ˣ − 5·2ˣ + 4 = 0.

מאחר ש-4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)², נציב t = 2ˣ:

$$t^2 - 5t + 4 = 0 \implies (t-1)(t-4) = 0$$

t = 1 או t = 4. מחזירים:

• 2ˣ = 1: x = 0.
• 2ˣ = 4 = 2²: x = 2.

שיטה 3: לקיחת לוגריתם

כשאי אפשר להמיר את שני הצדדים לבסיס משותף. לוקחים log או ln משני הצדדים.

דוגמה. 3ˣ = 7.

$$\log(3^x) = \log(7) \implies x \log(3) = \log(7) \implies x = \frac{\log(7)}{\log(3)} \approx 1.771$$

דוגמה מורכבת. 2^(x+1) = 5^(x−2).

$$\log(2^{x+1}) = \log(5^{x-2}) \implies (x+1)\log(2) = (x-2)\log(5)$$

פותחים סוגריים:

$$x \log(2) + \log(2) = x \log(5) - 2 \log(5)$$

מבודדים x:

$$x(\log(2) - \log(5)) = -2 \log(5) - \log(2)$$ $$x = \frac{-2 \log(5) - \log(2)}{\log(2) - \log(5)} = \frac{2 \log(5) + \log(2)}{\log(5) - \log(2)}$$

איך לבחור שיטה

דוגמה מבחנת. שילוב שיטות

פתרו: 2^(2x) − 3·2^x + 2 = 0.

זיהוי דפוס. רואים 2^(2x) = (2ˣ)² ו-2ˣ. הצבה.

t = 2ˣ:

$$t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t-1)(t-2) = 0$$

t = 1 או t = 2.

חזרה: x = 0 או x = 1.

חוקי חזקות שכיחים

ה-a חיובי ושונה מ-1.

טעות נפוצה

2ˣ = 5ˣ לא גורר x = x (תמיד נכון). הוא גורר (2/5)ˣ = 1, או x = 0. שכחת מהלך זה עלולה להוביל לפתרון לא נכון.

עמודים קשורים

• משוואה מעריכית
• חוקי חזקות
• חוקי לוגריתם
• איך לפתור משוואה לוגריתמית