איך להוכיח שמרובע הוא מקבילית: 5 דרכים שונות

יש חמש דרכים מקובלות להוכיח שמרובע הוא מקבילית. כל אחת קצרה ונוחה במצב שונה. בחירת הדרך הנכונה לפי הנתונים חוסכת זמן.

חמש הדרכים

דרך 1: שתי זוגות מקבילות (הגדרה)

נתון: ABCD מרובע עם AB ‖ CD ו-AD ‖ BC.

זוהי הגדרה של מקבילית. אין צורך בהוכחה. רושמים:

ABCD מקבילית (הגדרה: AB ‖ CD ו-AD ‖ BC).

דרך 2: שני זוגות צלעות נגדיות שוות

נתון: AB = CD ו-AD = BC.

הוכחה. מעבירים אלכסון AC. שני המשולשים ΔABC ו-ΔCDA חופפים לפי צ.צ.צ:

• AB = CD (נתון).
• BC = DA (נתון).
• AC = CA (משותף).

מהחפיפה: זוויות מתאימות שוות, מה שמוביל ל-AB ‖ CD ו-AD ‖ BC. מקבילית.

דרך 3: זוג צלעות מקביל ושווה

נתון: AB ‖ CD וגם AB = CD.

זה תנאי מספיק. ההוכחה. מעבירים אלכסון AC. המשולשים ΔABC ו-ΔCDA:

• AB = CD (נתון).
• AC = CA (משותף).
• ∠BAC = ∠DCA (זוויות מתחלפות כי AB ‖ CD).

חפיפה צ.ז.צ. מהחפיפה: AD = CB ו-∠ACB = ∠CAD (זוויות מתחלפות), אז AD ‖ BC. מקבילית.

דרך 4: שתי זוגות זוויות נגדיות שוות

נתון: ∠A = ∠C ו-∠B = ∠D.

הוכחה. סכום זוויות במרובע 360°:

$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°$$

מהנתון: 2∠A + 2∠B = 360°, אז ∠A + ∠B = 180°. זה מראה ש-AD ‖ BC (כי זוויות חד-צדדיות משלימות). באותו אופן AB ‖ CD. מקבילית.

דרך 5: אלכסונים חוצים זה את זה

נתון: האלכסונים AC ו-BD נחתכים בנקודה M, ו-AM = MC, BM = MD.

הוכחה. המשולשים ΔABM ו-ΔCDM:

• AM = MC (נתון).
• BM = MD (נתון).
• ∠AMB = ∠CMD (זוויות קודקודיות).

חפיפה צ.ז.צ. מהחפיפה: AB = CD וגם ∠ABM = ∠CDM. מהזוויות. AB ‖ CD. דרך 3 משלימה את ההוכחה.

איך לבחור דרך

דוגמה. בעיית בגרות

נתון: במשולש ABC, D ו-E אמצעי AB ו-AC. הוכיחו שמרובע BDEC הוא טרפז.

ניתוח. מקטע אמצעים DE מקביל ל-BC וחציו (משפט קטע אמצעים). אז DE ‖ BC. אבל DE = BC/2 ≠ BC (כל עוד המשולש לא מנוון). אז זוג אחד מקביל אבל לא שווה. זה טרפז, לא מקבילית.

זוהי דוגמה לכך שדרך 3 (מקביל ושווה) חיונית. רק מקבילות בלי שוויון אורך לא מספיקה למקבילית.

דוגמה. בניית מקבילית

נתון: ABCD מרובע שבו M אמצע AC וגם אמצע BD. הוכיחו שמקבילית.

הוכחה. המקבילות מתבסס על דרך 5: האלכסונים AC ו-BD נחתכים ב-M שחוצה את שניהם. תנאי מספיק. ABCD מקבילית.

טעויות נפוצות

• שכחה לציין את שני זוגות הצלעות במשפטים שדורשים זאת.
• שימוש בדרך 3 בלי לוודא שאותו זוג גם מקביל וגם שווה.
• בלבול בין דרך 3 לדרך 2.

עמודים קשורים

• מקבילית
• הוכחות מקבילית
• מקבילית לעומת מלבן
• טרפז לעומת מקבילית