הוכחת מקבילית: חמש הדרכים ודוגמאות
הוכחת מרובע כמקבילית בבגרות במתמטיקה. חמש הדרכים להוכחה, אסטרטגיית פתרון, ודוגמאות.
עודכן ב-26 במאי 2026
הוכחת מקבילית היא משימה נפוצה בבגרות. יש חמש דרכים אפשריות להוכיח שמרובע הוא מקבילית. הבחירה תלויה בנתונים.
חמש הדרכים להוכיח מקבילית
- שתי זוגות של צלעות מקבילות (ההגדרה).
- שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות.
- זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות.
- שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות.
- האלכסונים חוצים זה את זה.
שיטת הפתרון
- זהו מהן הנתונים במשולש או במרובע.
- חשבו על שתי הצלעות או הזוויות הרלוונטיות.
- השתמשו בכלים גאומטריים (חפיפה, דמיון, משפטי מקבילים) להוכיח את התנאי הנדרש.
- הסיקו מסקנה ש-המרובע הוא מקבילית.
דוגמה 1: דרך 1 (שתי זוגות מקבילות)
נתונה תיבה בה AB מקביל ל-CD ו-BC מקביל ל-AD. הוכיחו ש-ABCD מקבילית.
פתרון. לפי ההגדרה: שתי זוגות של צלעות מקבילות. מקבילית. ∎
(זה ההגדרה הישירה, אז אין צורך בהוכחה נוספת.)
דוגמה 2: דרך 3 (צלע מקבילה ושווה)
נתון משולש ABC. D על AC ו-E על AB כך ש-DE מקבילה ל-BC ושוות לחצי מ-BC. הוכיחו ש-DBCE מקבילית.
פתרון. נתון: DE ‖ BC, DE = BC/2.
זה לא מספיק להוכחה ישירה. צריך עוד פרטים. בהוכחה מאחורה: D ו-E אמצעי הצלעות. אז DE = BC/2 וגם DE ‖ BC לפי משפט קטע אמצעים.
נתבונן ב-DBCE (כאשר D ו-E אמצעי AC ו-AB). דוגמה זו דורשת נתון נוסף שלא כתוב כאן.
דוגמה 3: דרך 5 (אלכסונים חוצים)
נתון מרובע ABCD. האלכסונים AC ו-BD נחתכים בנקודה M, ו-M אמצע של שניהם. הוכיחו ש-ABCD מקבילית.
פתרון. נתון: M אמצע AC ו-M אמצע BD.
נתבונן ב-ΔAMB ו-ΔCMD:
- AM = CM (M אמצע AC)
- BM = DM (M אמצע BD)
- ∠AMB = ∠CMD (זוויות קודקודיות)
- ΔAMB ≅ ΔCMD (לפי צ.ז.צ)
- ⇒ AB = CD ו-∠ABM = ∠CDM
ה-∠ABM ו-∠CDM זוויות מתחלפות בין AB ו-CD. אם הן שוות, AB ‖ CD.
לפי דרך 3: AB מקבילה ושווה ל-CD ⇒ מקבילית. ∎
דוגמה 4: דרך 2 (שתי זוגות שוות)
במשולש ABC, נקודה D מחוץ למשולש כך ש-AD ‖ BC ו-AD = BC. הוכיחו ש-ABCD (בסדר הקודקודים A, B, C, D) או ABDC הוא מקבילית.
פתרון. האמירה מבולבלת. ניסיון לבנות: A, B, C, D עם AD ‖ BC ו-AD = BC משמע ש-ABCD לא בהכרח מקבילית. שיטה אחרת:
נתון ABCD כאשר AB = CD ו-BC = AD. לפי דרך 2: שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות ⇒ מקבילית. ∎
איך לבחור דרך
| נתון עיקרי | דרך מומלצת |
|---|---|
| צלעות מקבילות | דרך 1 |
| צלעות שוות | דרך 2 |
| צלע מקבילה ושווה | דרך 3 |
| זוויות נגדיות שוות | דרך 4 |
| אלכסונים חוצים | דרך 5 |
טעויות נפוצות
- שימוש בדרך לא נכונה לנתונים. אם הנתון על אלכסונים, הדרך הקצרה היא דרך 5.
- שכחת לציין את הדרך. בסוף ההוכחה תמיד יש לציין באיזו דרך מצאתם.
- בלבול בין מקבילית לסוגים מיוחדים. מקבילית פתוחה. ריבוע, מלבן, מעוין הם תת-קבוצות.