איך להוכיח שמרובע חוסם מעגל: שני המבחנים העיקריים

מרובע חוסם מעגל הוא מרובע שארבעת קודקודיו על מעגל אחד. יש שני מבחנים עיקריים להוכחה.

תנאי הכרחי ומספיק. סכום זוויות נגדיות

מרובע ABCD חוסם מעגל אם ורק אם:

$$\angle A + \angle C = 180° \quad \text{וגם} \quad \angle B + \angle D = 180°$$

(די באחד מהשניים, השני נובע מסכום הזוויות במרובע 360°.)

מבחן זווית חיצונית

תנאי שווה ערך: זווית חיצונית של מרובע שווה לזווית הפנימית של הקודקוד הנגדי.

לדוגמה, אם מאריכים את BC עד נקודה E, הזווית ∠DCE (חיצונית) צריכה להיות שווה ל-∠A. אם כן, המרובע חוסם מעגל.

דוגמה 1. הוכחה ישירה

נתון: במרובע ABCD, ∠A = 75° ו-∠C = 105°.

פתרון. ∠A + ∠C = 75° + 105° = 180°. לכן ABCD חוסם מעגל.

דוגמה 2. הוכחה דרך משולשים דומים

נתון: במרובע ABCD, האלכסונים נחתכים בנקודה M, ו-AM · MC = BM · MD.

טענה. ABCD חוסם מעגל.

הוכחה. המכפלה AM · MC = BM · MD היא תנאי "כוח הנקודה" של מעגל. אם נקודה M נמצאת בתוך מעגל, והקווים שעוברים דרכה חוצים את המעגל ב-A, C ו-B, D, אז המכפלה זהה.

הכפלה זהה משמעה ש-A, B, C, D על אותו מעגל.

הוכחה פורמלית יותר. מהמכפלה: AM/BM = DM/CM. בנוסף, ∠AMB = ∠DMC (זוויות קודקודיות). אז ΔAMB ~ ΔDMC (צ.ז.צ ביחס). מהדמיון: ∠BAM = ∠CDM. אבל אלו זוויות היקפיות על אותו מיתר BC (אם A, B, C, D על מעגל). כן ABCD חוסם מעגל.

דוגמה 3. בעיית בגרות

נתון: ABCD מרובע, ו-AB · CD = AD · BC עם ∠A + ∠C ≠ 180°. האם ABCD חוסם מעגל?

תשובה. לא. התנאי AB · CD = AD · BC הוא תנאי טולמי למרובעים חוסמי מעגל מסוג מסוים, אבל לבדוק חוסם מעגל ישירות עדיף לבדוק את התנאי הקלאסי ∠A + ∠C = 180°. במקרה הזה התנאי לא מתקיים, אז המרובע אינו חוסם מעגל.

איפה מרובע חוסם מעגל מופיע בבגרות

• מקבילית חוסמת מעגל היא מלבן. מקבילית עם זוויות נגדיות שוות וסכום 180° חייבת שזוויותיה יהיו 90° כל אחת.
• טרפז חוסם מעגל הוא טרפז שווה שוקיים. סימטריה ביחס לאנך מאמצע הבסיסים.
• מצולעים חוסמים מעגל רגילים: כל מצולע משוכלל חוסם מעגל.

הוכחה. מקבילית חוסמת מעגל הוא מלבן

נתון: ABCD מקבילית חוסמת מעגל.

הוכחה. במקבילית, ∠A = ∠C ו-∠B = ∠D. מהחסימה: ∠A + ∠C = 180°. אז 2∠A = 180°, ו-∠A = 90°. כל הזוויות ישרות. מלבן.

כלי שימושי. משפט הזווית ההיקפית

במרובע חוסם מעגל, זוויות היקפיות על אותו מיתר שוות זו לזו. זה משמש בהוכחות:

• ∠BAC = ∠BDC (זוויות היקפיות על מיתר BC).
• ∠ABD = ∠ACD (זוויות היקפיות על מיתר AD).

ניתן להפוך גם. אם זוויות שוות, הקודקודים שלהן על אותו מעגל.

טעויות נפוצות

• בדיקת רק זוג אחד של זוויות. התנאי הוא שני זוגות. אם זוג אחד מסתכם ל-180°, השני מסתכם אוטומטית. אבל בכתיבת הוכחה, נכון לציין את שניהם.
• בלבול בין חוסם לחסום. המעגל חוסם את המרובע מבחוץ, או המרובע חוסם את המעגל מבחוץ. ראו ההגדרות לעיל.

עמודים קשורים

• מרובע חוסם מעגל
• משפט הזווית ההיקפית
• הוכחות מעגל
• בלבול בין זווית מרכזית לזווית היקפית