איך לשרטט פרבולה: מציאת קודקוד, חיתוכים, וכיוון

שרטוט פרבולה y = ax² + bx + c הוא משימה סטנדרטית בבגרות. צעדים מסודרים מאפשרים לבנות גרף שמכיל את כל המידע הנדרש.

שלב 1: כיוון הפתיחה

לפי הסימן של a:

• a > 0: פרבולה פותחת כלפי מעלה. הקודקוד הוא נקודת המינימום.
• a < 0: פרבולה פותחת כלפי מטה. הקודקוד הוא נקודת המקסימום.

שלב 2: חישוב הקודקוד

נוסחה ישירה:

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$ $$y_v = c - \frac{b^2}{4a}$$

(שווה ערך: y_v = f(x_v) על ידי הצבה.)

נקודה זו היא הקודקוד (x_v, y_v) של הפרבולה.

שלב 3: ציר הסימטריה

הציר האנכי שעובר דרך הקודקוד:

$$x = x_v = -\frac{b}{2a}$$

הפרבולה סימטרית מסביב לציר הזה.

שלב 4: חיתוך עם ציר y

הצבת x = 0: y = c. החיתוך עם ציר y הוא (0, c).

שלב 5: חיתוכים עם ציר x

פותרים ax² + bx + c = 0. השתמשו בנוסחת השורשים או בפירוק. מספר החיתוכים תלוי בדלתא:

• Δ > 0: שני חיתוכים. נקודות (x₁, 0) ו-(x₂, 0).
• Δ = 0: חיתוך יחיד (מגע). נקודה (x₁, 0) שגם הקודקוד.
• Δ < 0: אין חיתוך. הפרבולה כולה מעל או מתחת לציר x.

שלב 6: שרטוט

1. סמנו את הקודקוד.
2. ציירו ציר סימטריה אנכי דרכו (קו מקווקו).
3. סמנו את החיתוך עם ציר y.
4. סמנו את החיתוכים עם ציר x (אם קיימים).
5. השתמשו בסימטריה כדי לסמן עוד נקודות מימין ומשמאל לקודקוד.
6. חברו בקו עקום חלק.

דוגמה מלאה. פרבולה עם שני חיתוכים

שרטטו: y = x² − 4x + 3.

שלב 1. a = 1 > 0. פותחת כלפי מעלה.

שלב 2. קודקוד: x_v = 4/2 = 2, y_v = 3 − 16/4 = 3 − 4 = −1. קודקוד (2, −1).

שלב 3. ציר סימטריה: x = 2.

שלב 4. חיתוך עם y: (0, 3).

שלב 5. חיתוכים עם x: x² − 4x + 3 = 0, פירוק (x − 1)(x − 3) = 0. נקודות: (1, 0) ו-(3, 0).

שלב 6. שרטוט. הסימטריה: אם (0, 3) על הגרף, אז גם (4, 3). (כי 4 = 2 · 2 − 0.)

דוגמה. פרבולה עם נקודת מגע

שרטטו: y = x² − 4x + 4.

קודקוד: x_v = 2, y_v = 4 − 4 = 0. נקודה (2, 0).

דלתא: 16 − 16 = 0. נקודת מגע יחידה: (2, 0). זה גם הקודקוד.

חיתוך עם y: (0, 4).

הפרבולה נוגעת בציר x רק בקודקוד שלה.

דוגמה. פרבולה בלי חיתוך עם ציר x

שרטטו: y = x² + 2x + 5.

קודקוד: x_v = −1, y_v = 5 − 4/4 = 5 − 1 = 4. נקודה (−1, 4).

דלתא: 4 − 20 = −16 < 0. אין חיתוך עם ציר x.

חיתוך עם y: (0, 5).

הפרבולה כולה מעל ציר x (כי a > 0 והקודקוד מעל).

דוגמה. פרבולה הפוכה

שרטטו: y = −x² + 6x − 5.

שלב 1. a = −1 < 0. פותחת כלפי מטה.

שלב 2. x_v = −6/(2·(−1)) = 3, y_v = −5 − 36/(−4) = −5 + 9 = 4. קודקוד (3, 4).

שלב 5. חיתוכים: −x² + 6x − 5 = 0, או x² − 6x + 5 = 0. פירוק (x − 1)(x − 5) = 0. נקודות (1, 0) ו-(5, 0).

שלב 4. חיתוך עם y: (0, −5).

טעויות נפוצות

• שכחת סימן ב-x_v. הנוסחה היא −b/(2a), לא b/(2a).
• שרטוט בלי קודקוד מסומן. הקודקוד הוא הנקודה המרכזית.
• שכחת חיתוך עם ציר y. סעיף קל אבל שווה נקודות בבגרות.

עמודים קשורים

• נוסחת השורשים
• השלמה לריבוע
• איך לפתור משוואה ריבועית
• טעויות סימן בהשלמה לריבוע