טעויות סימן בהשלמה לריבוע: למה השלם והפחת

השלמה לריבוע היא טכניקה חשובה למציאת קודקוד פרבולה ולפתרון משוואות. הטעות הנפוצה ביותר היא בסימן: הוספת ביטוי בלי הפחתה מתאימה, או טעות בחישוב חצי מהמקדם.

האלגוריתם הנכון

לביטוי x² + bx + c:

1. חצו את המקדם של x: b/2.
2. רבעו: (b/2)².
3. הוסיפו והפחיתו את הריבוע: x² + bx + (b/2)² − (b/2)² + c.
4. כתבו כריבוע שלם: (x + b/2)² − (b/2)² + c.
5. סדרו לצורה הסופית: (x + b/2)² + (c − (b/2)²).

הטעות הקלאסית. שכחת ההפחתה

השלימו לריבוע: x² + 6x + 5.

טעות: הוספת 9 בלי הפחתה.

$$x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 + 5$$

זה שגוי. בדיקה: פתיחה של (x + 3)² + 5 = x² + 6x + 9 + 5 = x² + 6x + 14, לא הביטוי המקורי.

נכון:

$$x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$$

חייבים להפחית את ה-9 שהוספנו.

דוגמה עם מקדם

2x² − 8x + 1:

שלב 1. הוצאת 2 מהמונחים שמכילים x: 2(x² − 4x) + 1.

שלב 2. חצי מ-4: 2. בריבוע: 4.

שלב 3. הוספה והפחתה בתוך הסוגריים: 2((x² − 4x + 4) − 4) + 1 = 2((x − 2)² − 4) + 1.

שלב 4. פיתוח: 2(x − 2)² − 8 + 1 = 2(x − 2)² − 7.

טעות שכיחה: התלמיד מוסיף 4 רק פעם אחת, מקבל 2(x − 2)² + 1, ומחמיץ את העובדה שהוא הוסיף 2 · 4 = 8 (לא 4) כשהשתמש בריבוע בתוך סוגריים שמוכפלים ב-2.

דוגמה עם מקדם שלילי

−x² + 4x + 3:

שלב 1. הוצאת −1 מהמונחים שמכילים x: −(x² − 4x) + 3.

שימו לב: כשמוציאים −1, הסימן של 4x נהפך ל-−4x.

שלב 2. חצי מ-4: 2. בריבוע: 4.

שלב 3. −((x² − 4x + 4) − 4) + 3 = −((x − 2)² − 4) + 3.

שלב 4. −(x − 2)² + 4 + 3 = −(x − 2)² + 7.

הקודקוד: (2, 7). זוהי פרבולה הפוכה (פותחת כלפי מטה) עם מקסימום ב-(2, 7).

דוגמה לפתרון משוואה

פתרו: x² + 4x − 5 = 0 באמצעות השלמה לריבוע.

השלמה: x² + 4x + 4 − 4 − 5 = 0, או (x + 2)² = 9.

שורש: x + 2 = ±3, אז x = 1 או x = −5.

טעות שכיחה: שכחת ה-±. ראו שכחת ה-± בנוסחת השורשים.

איך להימנע

1. לאחר השלמה לריבוע, בדקו על ידי פיתוח. הביטוי שמתקבל חייב להיות זהה למקור.
2. רשמו את כל השלבים. מהוצאת המקדם, דרך הוספה והפחתה, ועד הצורה הסופית.
3. שימו לב לסימן של הקבוע. במקדם שלילי, ההפחתה הופכת לחיבור אחרי הוצאה.

עמודים קשורים

• השלמה לריבוע
• נוסחת השורשים
• איך לפתור משוואה ריבועית
• שכחת ה-± בנוסחת השורשים