איך למצוא משוואת משיק לעקומה: שלבי הפתרון

מציאת משיק לפונקציה בנקודה היא שאלת חדו״א סטנדרטית. הצעדים זהים בכל פונקציה, בהינתן שניתנת לגזירה בנקודה.

הצורה הסופית של משיק

הצורה הקנונית של משיק:

$$y - y_0 = f'(x_0) \cdot (x - x_0)$$

כאשר (x₀, y₀) היא הנקודה ו-f'(x₀) הוא השיפוע באותה נקודה. אחרי פתיחה אפשר להגיע ל-y = mx + b.

שלב 1: מצאו את הנקודה

יש שתי אפשרויות עיקריות:

• השאלה נותנת את x₀. מציבים בפונקציה לחישוב y₀ = f(x₀).
• השאלה נותנת את y₀. פותרים f(x) = y₀ למציאת x₀.

תוצאה. נקודת השקה (x₀, y₀).

שלב 2: גזרו את הפונקציה

מחשבים f'(x). השתמשו בכללי הגזירה לפי סוג הפונקציה.

שלב 3: חשבו את השיפוע בנקודה

מציבים x₀ בנגזרת: m = f'(x₀).

שלב 4: כתבו את המשוואה

מציבים בצורת נקודה-שיפוע:

$$y - y_0 = m(x - x_0)$$

ופותחים לצורה הסטנדרטית y = mx + b אם השאלה דורשת.

דוגמה 1: פולינום

נתון: f(x) = x² − 3x + 2. מצאו את משוואת המשיק ב-x₀ = 2.

שלב 1. y₀ = f(2) = 4 − 6 + 2 = 0. נקודה: (2, 0).

שלב 2. f'(x) = 2x − 3.

שלב 3. m = f'(2) = 4 − 3 = 1.

שלב 4.

$$y - 0 = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x - 2$$

דוגמה 2: פונקציה רציונלית

נתון: f(x) = 1/x. מצאו משיק בנקודה (1, 1).

שלב 1. נתון. נקודה: (1, 1).

שלב 2. f'(x) = −1/x².

שלב 3. m = f'(1) = −1.

שלב 4.

$$y - 1 = -1 \cdot (x - 1) \implies y = -x + 2$$

דוגמה 3: מציאת נקודת השקה לפי שיפוע

נתון: f(x) = x³ − x. מצאו את משוואת המשיק שמקביל לישר y = 2x + 5.

ניתוח. ישרים מקבילים חולקים שיפוע. השיפוע הדרוש: m = 2.

שלב א. מציאת x₀ כך ש-f'(x₀) = 2:

$$3x_0^2 - 1 = 2 \implies x_0^2 = 1 \implies x_0 = \pm 1$$

שלב ב. חישוב y₀:

• x₀ = 1: y₀ = 1 − 1 = 0. נקודה: (1, 0).
• x₀ = −1: y₀ = −1 + 1 = 0. נקודה: (−1, 0).

שלב ג. משוואות:

• מ-(1, 0): y = 2(x − 1) = 2x − 2.
• מ-(−1, 0): y = 2(x + 1) = 2x + 2.

שתי משוואות, שתיהן תשובות חוקיות.

משיק ניצב

אם השאלה מבקשת משיק ניצב לקו y = mx + b, השיפוע הוא −1/m. שאר הצעדים זהים.

טעויות נפוצות

• שכחת לחשב את y₀. משוואת משיק דורשת גם את הנקודה. רק שיפוע לא מספיק.
• בלבול בין f(x₀) ל-f'(x₀). הראשון הוא הנקודה, השני הוא השיפוע.
• שימוש בנקודה שלא על העקומה. משיק חייב לעבור דרך נקודת השקה על הפונקציה.

עמודים קשורים

• משיק לעקומה
• טבלת הנגזרות
• נוסחת קו ישר
• שכחת כלל השרשרת