משיק לעקומה: נוסחה, שיטות, ודוגמאות

משיק לעקומה הוא ישר שנוגע בעקומה בנקודה ובעל אותו שיפוע. שיפוע המשיק שווה לנגזרת באותה נקודה.

נוסחת המשיק

למשיק בנקודה (a, f(a)) על עקומת y = f(x):

$$y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)$$

או באופן שקול:

$$y = f'(a) \cdot x + (f(a) - a \cdot f'(a))$$

סוגי שאלות

א. משיק בנקודה נתונה על העקומה

נתון x₀. השלבים:

1. מצא את f'(x).
2. הצב x₀ ב-f וב-f'.
3. הצב בנוסחת המשיק.

ב. משיק עם שיפוע נתון

נתון שיפוע m. השלבים:

1. מצא את f'(x).
2. פתור f'(x) = m למציאת x₀ (יכולים להיות כמה).
3. עבור כל x₀, חשב משיק.

ג. משיק מנקודה חיצונית

נתונה נקודה P = (p, q) שאינה על העקומה. השלבים:

1. נסמן את נקודת ההשקה (x₀, f(x₀)).
2. שיפוע המשיק: f'(x₀).
3. שיפוע מנקודה ל-(x₀, f(x₀)): (f(x₀) − q) / (x₀ − p).
4. השוואת השיפועים: f'(x₀) = (f(x₀) − q) / (x₀ − p). פתור עבור x₀.

דוגמה 1: משיק בנקודה

מצאו את המשיק ל-f(x) = x² ב-x = 2.

פתרון.

$$f(2) = 4, \quad f'(x) = 2x, \quad f'(2) = 4$$ $$y - 4 = 4(x - 2) \implies y = 4x - 4$$

דוגמה 2: משיק עם שיפוע נתון

מצאו את המשיקים ל-f(x) = x³ − 3x עם שיפוע 9.

פתרון.

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 9 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$

עבור x = 2: f(2) = 2 ⇒ y − 2 = 9(x − 2) ⇒ y = 9x − 16.

עבור x = −2: f(−2) = −2 ⇒ y + 2 = 9(x + 2) ⇒ y = 9x + 16.

דוגמה 3: משיק מנקודה חיצונית

מצאו את המשיק/ים ל-f(x) = x² שעוברים בנקודה (2, −5).

פתרון. נסמן את נקודת ההשקה (x₀, x₀²). שיפוע: 2x₀.

מנקודה (2, −5) ל-(x₀, x₀²):

$$\frac{x_0^2 - (-5)}{x_0 - 2} = 2 x_0$$ $$x_0^2 + 5 = 2 x_0 (x_0 - 2) = 2 x_0^2 - 4 x_0$$ $$x_0^2 - 4 x_0 - 5 = 0 \implies x_0 = 5 \text{ או } x_0 = -1$$

עבור x₀ = 5: שיפוע 10, נקודת השקה (5, 25). משיק: y = 10x − 25.

עבור x₀ = −1: שיפוע −2, נקודת השקה (−1, 1). משיק: y = −2x − 1.

טעויות נפוצות

1. בלבול בין שיפוע מהנקודה לבין שיפוע מהעקומה. שני אלה צריכים להיות שווים בנקודת ההשקה.
2. שכחת לבדוק אם הנקודה על העקומה. אם כן, השיטה הראשונה. אם לא, השיטה השלישית.
3. שיפוע המשיק זה הנגזרת, לא הפונקציה.

עמודים קשורים

• נגזרות
• שיפוע ישר
• חקירת פונקציה
• חדו"א