איך למצוא משוואת קו ישר: כל המקרים

מציאת משוואת קו ישר הוא אחד הבסיסים בגאומטריה אנליטית. יש כמה דרכים, תלוי בנתונים.

צורות של משוואת קו

מקרה 1: שתי נקודות נתונות

נקודות (x₁, y₁) ו-(x₂, y₂). השלבים:

1. חישוב שיפוע: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
2. שימוש בצורת נקודה-שיפוע.

דוגמה. נקודות (2, 1) ו-(5, 7).

m = (7 − 1)/(5 − 2) = 6/3 = 2.

משוואה: y − 1 = 2(x − 2), או y = 2x − 3.

מקרה 2: נקודה ושיפוע

נתון: שיפוע m ונקודה (x₀, y₀). ישירות בצורת נקודה-שיפוע:

$$y - y_0 = m(x - x_0)$$

דוגמה. שיפוע 3 ונקודה (1, 4).

y − 4 = 3(x − 1), או y = 3x + 1.

מקרה 3: נקודה וקו מקביל

נתון. נקודה ועוד קו. רוצים קו דרך הנקודה שמקביל למקור.

הקו המקביל חולק שיפוע. ההמשך כמו מקרה 2.

דוגמה. נקודה (2, 3) והקו y = 4x + 7.

שיפוע 4. משוואה: y − 3 = 4(x − 2), או y = 4x − 5.

מקרה 4: נקודה וקו ניצב

הקו הניצב לקו עם שיפוע m יש לו שיפוע −1/m.

דוגמה. נקודה (2, 3) והקו y = 4x + 7. רוצים את הניצב.

שיפוע ניצב: −1/4. משוואה: y − 3 = −(x − 2)/4, או y = −x/4 + 7/2.

מקרה 5: שני חיתוכים עם הצירים

נתון. הקו חוצה את ציר x ב-(a, 0) ואת ציר y ב-(0, b). נוסחת חותכים:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

דוגמה. חיתוך עם x ב-(3, 0) ועם y ב-(0, 6).

x/3 + y/6 = 1, או 2x + y = 6, או y = −2x + 6.

מקרה 6: קו אנכי

קו אנכי דרך נקודה (a, b): x = a. השיפוע אינסופי, לא נכתב בצורת y = mx + b.

מקרה 7: דרך נקודה והנגזרת של פונקציה

זה משיק לעקומה. ראו איך למצוא משוואת משיק לעקומה.

דוגמה משולבת

מצאו משוואת קו שעובר דרך (−1, 5) וניצב לקו 2x − 3y + 4 = 0.

שלב 1. שיפוע המקור. סדר מחדש: −3y = −2x − 4, או y = 2x/3 + 4/3. שיפוע: 2/3.

שלב 2. שיפוע ניצב: −3/2.

שלב 3. משוואה: y − 5 = −(3/2)(x + 1). סדר: y = −3x/2 − 3/2 + 5 = −3x/2 + 7/2.

בדיקה

תמיד מציבים את הנקודה במשוואה הסופית כדי לוודא שהיא על הקו. דוגמה אחרונה: (−1, 5):

y = −3(−1)/2 + 7/2 = 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5. נכון.

טעויות נפוצות

• חישוב שיפוע במספר שלילי בלי סוגריים. m = (3 − (−2))/(1 − (−4)) = 5/5 = 1. שכחת הסוגריים הופכת ל-(3 − 2)/(1 − 4) = −1/3.
• שימוש בנקודה לא על הקו בצורת נקודה-שיפוע. וודאו שהנקודה שאתם בוחרים אכן על הקו.
• בלבול בין שיפועים של מקבילים וניצבים. מקבילים שווים, ניצבים מקיימים m₁ · m₂ = −1.

עמודים קשורים

• נוסחאות קו ישר
• נוסחת שיפוע
• קווים מקבילים לעומת ניצבים
• איך למצוא משיק לעקומה