איך למצוא פונקציה הופכית: השלבים והבדיקה

פונקציה הופכית f⁻¹ הופכת את הפעולה של f. אם f(2) = 5, אז f⁻¹(5) = 2. השלבים למציאתה דורשים זהירות בתחום ההגדרה.

תנאי קיום

לפונקציה f יש הופכית אם ורק אם היא חד-חד-ערכית: לכל ערך y יש בדיוק x אחד עם f(x) = y. במבחן הקו האופקי: כל קו אופקי חוצה את הגרף בלכל היותר נקודה אחת.

אלגוריתם

שלב 1: ודאו שהפונקציה חד-חד-ערכית

• פונקציות מונוטוניות (עולות תמיד או יורדות תמיד) הן חד-חד-ערכיות.
• פולינומים מדרגה אי-זוגית ללא נקודות קיצון.
• אקספוננציאלי ולוגריתם תמיד חד-חד-ערכיים.

אם הפונקציה לא חד-חד-ערכית, מגבילים את התחום (למשל לחצי).

שלב 2: כתבו y = f(x)

שלב 3: החליפו x ל-y

זה הצעד שמסמן את המעבר ל-f⁻¹. מקבלים x = f(y).

שלב 4: בודד y

מבצעים פעולות אלגבריות עד שמקבלים y כפונקציה של x. זוהי f⁻¹(x).

שלב 5: התחום של ההופכית

תחום של f⁻¹ שווה לטווח של f. רשמו אותו במפורש.

שלב 6: בדקו

f(f⁻¹(x)) = x ו-f⁻¹(f(x)) = x בכל התחום.

דוגמה 1: פונקציה ליניארית

מצאו את ההופכית של f(x) = 3x − 7.

שלב 1. מונוטונית עולה (f'(x) = 3 > 0). חד-חד-ערכית.

שלב 2. y = 3x − 7.

שלב 3. החלפה: x = 3y − 7.

שלב 4. בידוד: y = (x + 7)/3.

שלב 5. תחום של f: כל הממשיים. טווח: כל הממשיים. תחום של f⁻¹: כל הממשיים.

שלב 6. f(f⁻¹(x)) = 3 · (x + 7)/3 − 7 = x + 7 − 7 = x. נכון.

תשובה: f⁻¹(x) = (x + 7)/3.

דוגמה 2: פונקציה ריבועית מוגבלת

מצאו את ההופכית של f(x) = x² + 1 בתחום x ≥ 0.

שלב 1. רגיל x² לא חד-חד-ערכית, אבל בתחום x ≥ 0 היא כן.

שלב 2. y = x² + 1.

שלב 3. החלפה: x = y² + 1.

שלב 4. y² = x − 1, אז y = ±√(x − 1). מאחר שהטווח של f⁻¹ הוא תחום של f, שהוא [0, ∞), בוחרים את y = +√(x − 1).

שלב 5. תחום של f⁻¹: טווח של f. נקודת מינימום של f: f(0) = 1. הטווח: [1, ∞). אז תחום של f⁻¹ הוא [1, ∞).

תשובה: f⁻¹(x) = √(x − 1), מוגדרת ב-[1, ∞).

דוגמה 3: פונקציה אקספוננציאלית

מצאו את ההופכית של f(x) = e^(2x) + 3.

שלב 1. מונוטונית עולה (אקספוננציאלית). חד-חד-ערכית.

שלב 2. y = e^(2x) + 3.

שלב 3. החלפה: x = e^(2y) + 3.

שלב 4. בידוד: e^(2y) = x − 3, אז 2y = ln(x − 3), וְ-y = ln(x − 3)/2.

שלב 5. תחום של f⁻¹: טווח של f. e^(2x) > 0, אז f(x) > 3. הטווח: (3, ∞). תחום של f⁻¹: (3, ∞).

תשובה: f⁻¹(x) = ln(x − 3)/2, מוגדרת ב-(3, ∞).

דוגמה 4: פונקציה רציונלית

מצאו את ההופכית של f(x) = (x + 1)/(x − 2).

שלב 2. y = (x + 1)/(x − 2).

שלב 3. החלפה: x = (y + 1)/(y − 2).

שלב 4. הכפלה: x(y − 2) = y + 1, אז xy − 2x = y + 1, ואז y(x − 1) = 2x + 1, ולבסוף y = (2x + 1)/(x − 1).

שלב 5. תחום של f⁻¹: כל x כך ש-x − 1 ≠ 0, כלומר x ≠ 1.

תשובה: f⁻¹(x) = (2x + 1)/(x − 1), מוגדרת ב-x ≠ 1.

הקשר עם גרפים

הגרף של f⁻¹ הוא השתקפות של גרף f סביב הקו y = x. נקודה (a, b) על גרף f הופכת ל-(b, a) על גרף f⁻¹.

טעויות נפוצות

• שכחת החלפת תחום וטווח. תחום וטווח מוחלפים.
• בחירת השורש השלילי במקום החיובי בפונקציה ריבועית מוגבלת.
• שכחה לבדוק f(f⁻¹(x)) = x.

עמודים קשורים

• שכחת החלפת תחום וטווח
• תחום לעומת טווח
• פונקציה לעומת יחס
• חוקי לוגריתם