איך לחשב נפח גוף סיבוב: מדריך אינטגרל לאינטגרל

נפח גוף סיבוב הוא הנפח של הצורה התלת-מימדית שמתקבלת מסיבוב פונקציה סביב ציר. זה אינטגרל קלאסי בבגרות 5 יחידות.

הנוסחה הבסיסית. סיבוב סביב ציר x

הנפח של הגוף המתקבל מסיבוב הפונקציה f(x) על קטע [a, b] סביב ציר x:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

הרעיון. כל פרוסה אנכית של הגוף היא דיסקה ברדיוס f(x). שטח הדיסקה: π[f(x)]². סוכמים את כל הדיסקות באמצעות אינטגרל.

שלבי הפתרון

שלב 1: זהו את גבולות האינטגרציה

אם הגוף מתקבל מסיבוב גרף בין שתי נקודות x, גבולות האינטגרציה הן ערכי x של הנקודות. אם הקטע נתון בשאלה, משתמשים בו ישירות.

שלב 2: כתבו את האינטגרל

מציבים את הפונקציה בריבוע בנוסחה.

שלב 3: חשבו את האינטגרל

מבצעים אינטגרציה לא מסוימת, אחר כך הצבה בגבולות.

שלב 4: כפלו ב-π

לא לשכוח את הקבוע מהנוסחה.

דוגמה 1. סיבוב פרבולה

חשבו את נפח הגוף המתקבל מסיבוב f(x) = √x בקטע [0, 4] סביב ציר x.

$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx$$ $$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$$

דוגמה 2. סיבוב פונקציה ליניארית. חרוט

חשבו את נפח החרוט המתקבל מסיבוב f(x) = x בקטע [0, h] סביב ציר x. (זה חרוט ישר עם רדיוס בסיס h וגובה h.)

$$V = \pi \int_0^h x^2 \, dx = \pi \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{\pi h^3}{3}$$

זה תואם את הנוסחה הסטנדרטית של חרוט עם r = h.

דוגמה 3. כדור

חשבו את נפח הכדור עם רדיוס R באמצעות אינטגרל.

הכדור מתקבל מסיבוב חצי-עיגול f(x) = √(R² − x²) בקטע [−R, R] סביב ציר x.

$$V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) \, dx = \pi \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R}$$ $$= \pi \left[ \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) - \left( -R^3 + \frac{R^3}{3} \right) \right] = \pi \cdot \frac{4R^3}{3}$$

זו הנוסחה הסטנדרטית.

סיבוב סביב ציר y

יש שתי שיטות.

שיטה א: ביטוי x כפונקציה של y

אם הפונקציה y = f(x) הפיכה, מבטאים x = g(y). הנוסחה:

$$V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy$$

כאשר c ו-d גבולות y.

דוגמה. סיבוב y = x² בקטע [0, 1] סביב ציר y.

מבטאים: x = √y. הגבולות. y מ-0 ל-1.

$$V = \pi \int_0^1 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^1 y \, dy = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$$

שיטה ב: שיטת הצילינדרים (shell method)

לעיתים יותר נוחה כשקשה להפוך את הפונקציה.

$$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$$

זו טכניקה לרמה גבוהה, פחות שכיחה בבגרות הסטנדרטית.

דוגמה. נפח בין שני גרפים

נפח של הגוף המתקבל מסיבוב האזור בין שתי פונקציות f(x) ו-g(x) (כאשר f ≥ g) בקטע [a, b] סביב ציר x:

$$V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) \, dx$$

זו "טבעת" של גוף סיבוב, עם רדיוס חיצוני f(x) ורדיוס פנימי g(x).

טעויות נפוצות

• שכחת ה-π. הנפח מתחיל ב-π, לא לשכוח אותו.
• [f(x)]² במקום f(x²). האינטגרנט הוא הפונקציה בריבוע, לא הפונקציה של x².
• שכחת חיסור הריבועים בנפח בין שני גרפים. החיסור הוא f² − g², לא (f − g)².

עמודים קשורים

• נפח גוף סיבוב
• שטח בין עקומות
• טבלת אינטגרלים
• איך לחשב שטח בין שני גרפים