נפח גוף סיבוב: שיטה ודוגמאות פתורות

נפח גוף סיבוב הוא נושא מתקדם של אינטגרציה. סיבוב של פונקציה סביב ציר יוצר גוף תלת-ממדי, ונפחו ניתן לחישוב באמצעות אינטגרל.

נוסחה לסיבוב סביב ציר X

עבור פונקציה f(x) בתחום [a, b] כאשר f(x) ≥ 0:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

הפונקציה ברבוע מתארת את שטח חתך עיגול (πr² = π · f(x)²). אינטגרל סוכם את החתכים.

נוסחה לסיבוב סביב ציר Y (5 יחידות)

עבור פונקציה x = g(y) בתחום [c, d]:

$$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$$

סיבוב של אזור בין שתי עקומות

אם f(x) ≥ g(x) ≥ 0:

$$V = \pi \int_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) \, dx$$

(נפח של גוף גדול פחות נפח הגוף הקטן שבתוכו.)

שיטת הפתרון

1. זהו את העקומה ואת התחום.
2. זהו את ציר הסיבוב (x או y).
3. כתבו את הנוסחה המתאימה.
4. חישבו את האינטגרל.

דוגמה 1: סיבוב פונקצית שורש

מצאו את נפח הגוף שנוצר מסיבוב f(x) = √x בתחום [0, 4] סביב ציר X.

פתרון.

$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \cdot \frac{x^2}{2} \bigg|_0^4 = \pi \cdot 8 = 8 \pi$$

דוגמה 2: סיבוב פרבולה

מצאו את נפח הגוף שנוצר מסיבוב f(x) = x² בתחום [0, 2] סביב ציר X.

פתרון.

$$V = \pi \int_0^2 x^4 \, dx = \pi \cdot \frac{x^5}{5} \bigg|_0^2 = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32 \pi}{5}$$

דוגמה 3: בין שתי עקומות

מצאו את נפח הגוף שנוצר מסיבוב האזור בין f(x) = x + 1 ו-g(x) = x² בתחום [0, 1] סביב ציר X.

פתרון. ב-x = 0.5: f = 1.5, g = 0.25. f עליונה.

$$V = \pi \int_0^1 ((x+1)^2 - (x^2)^2) \, dx = \pi \int_0^1 (x^2 + 2x + 1 - x^4) \, dx$$ $$= \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 - \frac{1}{5} \right) = \pi \cdot \frac{32}{15}$$

דוגמה 4: סיבוב סביב ציר Y (5 יחידות)

מצאו את נפח הגוף שנוצר מסיבוב y = x² בתחום [0, 4] (בציר y) סביב ציר Y.

פתרון. מהפכים: x = √y.

$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy = \pi \cdot 8 = 8 \pi$$

טעויות נפוצות

1. שכחת π. בלי π זה לא נפח.
2. חישוב f(x) במקום f(x)². הנפח דורש ריבוע של הפונקציה (שזה רדיוס הדיסקה).
3. בלבול בין ציר X לציר Y. סיבוב סביב ציר אחר דורש הפיכת הפונקציה.
4. שכחת לוודא ש-f(x) ≥ 0. סיבוב מבוצע רק על אזור מעל ציר X (אם סיבוב סביבו).

עמודים קשורים

• שטח בין עקומות
• אינטגרלים
• טבלת אינטגרלים
• חדו"א