MODE 53

חישוב שטח בין עקומות באינטגרל: שיטה ודוגמאות

חישוב שטח בין עקומות באמצעות אינטגרל בבגרות במתמטיקה. שיטת פתרון, מציאת נקודות חיתוך, וטיפול במקרים שהפונקציות מחליפות סדר.

עודכן ב-26 במאי 2026

חישוב שטח בין עקומות הוא שאלת חדו"א נפוצה בבגרות. הרעיון: אינטגרל של הפרש הפונקציות נותן את השטח הסגור ביניהן.

הנוסחה הבסיסית

אם f(x) ≥ g(x) לכל x בקטע [a, b]:

S=∫ab(f(x)−g(x)) dxS = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx

הפונקציה העליונה פחות התחתונה. השטח אי-שלילי.

שיטת הפתרון

  1. מצאו את נקודות החיתוך של שתי העקומות: פתרו f(x) = g(x).
  2. קבעו מי הפונקציה העליונה בכל תת-תחום. ניתן לבדוק עם נקודה מספרית.
  3. חישבו אינטגרל של ההפרש בכל תת-תחום.
  4. סכמו את הערכים.

דוגמה 1: בסיסי

מצאו את השטח בין f(x) = x² ו-g(x) = x בתחום [0, 1].

פתרון. נקודות חיתוך: x² = x ⇒ x(x − 1) = 0 ⇒ x = 0, 1.

בתחום (0, 1): ב-x = 0.5: f = 0.25, g = 0.5. g גדול מ-f. אז g עליונה.

S=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16S = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

דוגמה 2: בלי תחום נתון

מצאו את השטח הסגור בין f(x) = 4 − x² ו-g(x) = x².

פתרון. נקודות חיתוך: 4 − x² = x² ⇒ x² = 2 ⇒ x = ±√2.

בתחום (−√2, √2): ב-x = 0: f = 4, g = 0. f עליונה.

S=∫−22(4−x2−x2) dx=∫−22(4−2x2) dxS = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - x^2 - x^2) \, dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx =[4x−2x33]−22=2(42−2(2)33)=2(42−423)=1623= \left[ 4x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = 2 \left( 4\sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2})^3}{3} \right) = 2 \left( 4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{16 \sqrt{2}}{3}

דוגמה 3: עם החלפת סדר

מצאו את השטח בין f(x) = x² ו-g(x) = x³ בתחום [0, 2].

פתרון. נקודת חיתוך: x² = x³ ⇒ x²(1 − x) = 0 ⇒ x = 0, 1.

בתחום (0, 1): ב-x = 0.5: f = 0.25, g = 0.125. f עליונה.

בתחום (1, 2): ב-x = 1.5: f = 2.25, g = 3.375. g עליונה.

S=∫01(x2−x3) dx+∫12(x3−x2) dxS = \int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx + \int_1^2 (x^3 - x^2) \, dx

חישוב הראשון:

[x33−x44]01=13−14=112\left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}

חישוב השני:

[x44−x33]12=(4−83)−(14−13)=43+112=1712\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = (4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12}

סה"כ: 1/12 + 17/12 = 18/12 = 3/2.

טעויות נפוצות

  1. שכחת לבדוק מי עליונה. אם חיברתם בסדר הפוך, מקבלים שטח שלילי.
  2. שכחת לחלק לתת-תחומים כשהעקומות חוצות. כל תת-תחום צריך לחשב בנפרד.
  3. חישוב אינטגרל ולא לאפים אינטגרציה. תמיד צריך לבחון את הגבולות.

עמודים קשורים