איך לחשב שטח בין שני גרפים: מדריך אינטגרל מסוים

שטח כלוא בין שני גרפים הוא שימוש קלאסי של האינטגרל המסוים בבגרות. הצעדים בכל בעיה דומים.

שלב 1: מצאו נקודות חיתוך

פותרים את המשוואה f(x) = g(x). הפתרונות x = a ו-x = b הם גבולות האינטגרציה.

שלב 2: קבעו איזה גרף למעלה

בקטע [a, b], אחד הגרפים נמצא מעל השני. בודקים על ידי הצבת נקודה בקטע. לדוגמה, אם a = 1 ו-b = 4, בודקים את x = 2:

• אם f(2) > g(2): f מעל g.
• אחרת: g מעל f.

שלב 3: חשבו את האינטגרל

נוסחת השטח:

$$S = \int_a^b (\text{עליון} - \text{תחתון}) \, dx$$

מבצעים אינטגרציה לא מסוימת, מציבים בגבולות, ומחסירים.

דוגמה מלאה

חשבו את השטח הכלוא בין f(x) = x² + 1 ל-g(x) = 2x + 4.

שלב 1. נקודות חיתוך: x² + 1 = 2x + 4, או x² − 2x − 3 = 0. פירוק: (x − 3)(x + 1) = 0. אז x = −1 ו-x = 3.

שלב 2. בודקים x = 0: f(0) = 1, g(0) = 4. g למעלה.

שלב 3.

$$S = \int_{-1}^{3} (2x + 4 - x^2 - 1)\,dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3)\,dx$$

מבצעים אינטגרציה:

$$\left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}$$

חישוב בגבולות:

• ב-x = 3: −27/3 + 9 + 9 = −9 + 18 = 9.
• ב-x = −1: 1/3 + 1 − 3 = 1/3 − 2 = −5/3.

חיסור: 9 − (−5/3) = 9 + 5/3 = 32/3.

הפונקציה למעלה משתנה

לפעמים בקטע אחד f למעלה ובקטע אחר g למעלה. במקרה הזה, מחלקים בנקודות החיתוך נוספות.

דוגמה. נתונות f(x) = sin x ו-g(x) = cos x בקטע [0, π]. נקודת חיתוך: x = π/4. בקטע [0, π/4]: cos x ≥ sin x. בקטע [π/4, π]: sin x ≥ cos x.

$$S = \int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi} (\sin x - \cos x)\,dx$$

טעויות נפוצות

• הפוך עליון ותחתון. התוצאה תיצא שלילית. תקנו על ידי החלפה או לקיחת ערך מוחלט.
• שכחה לפצל באמצע הקטע. אם הפונקציה למעלה משתנה ולא חילקתם, השטח שיוצא לא נכון.
• טעויות באינטגרציה של פולינום פשוט. אינטגרל של x² הוא x³/3, לא x³. בדקו על ידי גזירה.

כשהגרף יורד מתחת לציר x

אם השטח הוא בין f לציר x, אז למעשה g(x) = 0. הנוסחה הופכת ל-S = ∫|f(x)|dx. אם f חיובית ושלילית בתוך הקטע, מפצלים בנקודות החיתוך עם הציר.

עמודים קשורים

• שטח בין עקומות
• טבלת אינטגרלים
• גזירה לעומת אינטגרציה
• נפח סיבוב