נוסחת סכום טור הנדסי אינסופי: S = a / (1 − q)

נוסחת סכום טור הנדסי אינסופי מאפשרת לסכם אינסוף אברים בסדרה הנדסית, בתנאי שערך מוחלט של המנה קטן מאחד. הנוסחה אינטואיטיבית ויש לה שימושים בבעיות מילוליות נפוצות בבגרות 5 יחידות.

הנוסחה

עבור סדרה הנדסית עם אבר ראשון a₁ ומנה q כך ש-|q| < 1:

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$$

אם |q| ≥ 1, הטור מתבדר ולא קיים סכום סופי.

הוכחה כגבול

נוסחת סכום סופי:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

כשmt n שואף לאינסוף ו-|q| < 1, q^n שואף לאפס:

$$\lim_{n \to \infty} S_n = a_1 \cdot \frac{1 - 0}{1 - q} = \frac{a_1}{1 - q}$$

תנאי התכנסות

| ערך |q| | האם הטור מתכנס? | |---|---| | |q| < 1 | כן, יש סכום סופי | | |q| = 1 | לא (סדרה קבועה או מתחלפת) | | |q| > 1 | לא, האברים גדלים בלי גבול |

דוגמה 1: סכום פשוט

חשבו את 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ....

פתרון. a_1 = 1, q = 1/2. |q| = 1/2 < 1, אז הטור מתכנס:

$$S_\infty = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$$

דוגמה 2: בעיית כדור קופץ

כדור נופל מגובה 8 מטר. בכל קפיצה הוא חוזר ל-3/4 מהגובה. מה המרחק הכולל שהכדור עובר?

פתרון. גבהי הקפיצות: 6, 6·3/4, 6·(3/4)², ... זו סדרה הנדסית עם a_1 = 6 ו-q = 3/4.

$$S_\infty = \frac{6}{1 - 3/4} = \frac{6}{1/4} = 24$$

כל גובה נוסע פעמיים (עליה וירידה): 2·24 = 48 מטר. בנוסף הנפילה הראשונית: 8 מטר.

סה"כ: 8 + 48 = 56 מטר.

דוגמה 3: שבר מחזורי

הביעו 0.272727... כשבר רגיל.

פתרון. 0.272727... = 0.27 + 0.0027 + 0.000027 + .... סדרה הנדסית עם a_1 = 0.27, q = 0.01.

$$S_\infty = \frac{0.27}{1 - 0.01} = \frac{0.27}{0.99} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

דוגמה 4: q שלילי

חשבו את 4 − 2 + 1 − 0.5 + ....

פתרון. a_1 = 4, q = −1/2. |q| = 1/2 < 1, אז הטור מתכנס:

$$S_\infty = \frac{4}{1 - (-1/2)} = \frac{4}{3/2} = \frac{8}{3}$$

טעויות נפוצות

1. שימוש בנוסחה בלי לבדוק תנאי התכנסות. תמיד בדקו |q| < 1 קודם.
2. שכחה שיש מקרה של q שלילי. הנוסחה תקפה גם כש-q שלילי, בתנאי שערך מוחלט קטן מ-1.
3. בעיית כדור קופץ: שכחת לכפול ב-2. כל גובה קפיצה נספר פעמיים (עליה וירידה). הנפילה הראשונה נספרת פעם אחת.

עמודים קשורים

• טור הנדסי אינסופי
• סדרה הנדסית
• סדרה חשבונית
• סדרות