נוסחאות סדרה חשבונית: אבר כללי וסכום n אברים

הנוסחאות של סדרה חשבונית הן הכלים הבסיסיים לכל שאלה שמערבת התקדמות לינארית: חיסכון בקצב קבוע, מספר מקומות בשורות הולכות וגדלות, וכך הלאה.

הנוסחאות

אבר כללי

עבור סדרה עם אבר ראשון a₁ והפרש d:

$$a_n = a_1 + (n-1) d$$

סכום n אברים, צורה 1

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

סכום n אברים, צורה 2 (כש-a_n לא ידוע ישירות)

$$S_n = \frac{n(2 a_1 + (n-1) d)}{2}$$

הוכחה לסכום

נכתוב את הסכום פעמיים, פעם משמאל לימין ופעם להפך:

S_n = a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + ... + (a_1+(n−1)d)
S_n = (a_1+(n−1)d) + (a_1+(n−2)d) + ... + a_1

נחבר את שתי השורות. כל זוג מקביל נותן את אותו סכום: 2a_1 + (n−1)d. סה"כ:

$$2 S_n = n (2 a_1 + (n-1) d) \implies S_n = \frac{n(2 a_1 + (n-1) d)}{2}$$

דוגמה 1: אבר כללי

בסדרה חשבונית a_1 = 7, d = 4. מצאו את a_{12}.

פתרון.

$$a_{12} = 7 + 11 \cdot 4 = 51$$

דוגמה 2: סכום

מצאו את סכום 50 המספרים הזוגיים הראשונים: 2, 4, 6, ..., 100.

פתרון. סדרה חשבונית עם a_1 = 2, d = 2, a_{50} = 100:

$$S_{50} = \frac{50 (2 + 100)}{2} = 25 \cdot 102 = 2550$$

דוגמה 3: מציאת n

בסדרה חשבונית a_1 = 3, d = 5. מהו n שעבורו a_n = 158?

פתרון.

$$158 = 3 + (n-1) \cdot 5 \implies 155 = 5(n-1) \implies n = 32$$

דוגמה 4: שילוב

נתון a_4 + a_6 = 30 ו-a_3 · a_5 = 80 בסדרה חשבונית. מצאו את האברים.

פתרון. a_5 הוא ממוצע של a_4 ו-a_6, ולפי תכונת הממוצע גם של a_3 ו-a_7. כי a_4 + a_6 = 2 a_5, נקבל a_5 = 15. וכן a_3 + a_7 = 2 a_5 = 30.

נשתמש בנתון השני: a_3 · a_5 = 80 ⇒ a_3 = 80 / 15 = 16/3. אך זה לא ייצא שלם, אז ייתכן שהשאלה דורשת שונים. השאר כתרגיל.

טעויות נפוצות

1. חישוב a_n = a_1 + n · d. שגוי! הנוסחה היא (n−1) · d. האבר הראשון כבר נספר, ההפרשים שמוסיפים הם n מינוס אחד.
2. בלבול בין a_n ל-S_n. אבר n-י זה רק האבר עצמו. סכום זה הסכום של כל ה-n האברים הראשונים.
3. בחירת הנוסחה הלא נכונה לסכום. אם a_n ידוע, צורה 1 פשוטה יותר. אם רק a_1 ו-d ידועים, צורה 2 מתאימה.

עמודים קשורים

• סדרה חשבונית
• סדרה הנדסית
• טור הנדסי אינסופי
• סדרות