נוסחאות סדרה הנדסית: אבר כללי וסכום n אברים

נוסחאות הסדרה ההנדסית הן הכלי לכל תופעה של גידול או דעיכה אקספוננציאלית: ריבית דריבית, ירידת ערך, אוכלוסיה גדלה בקצב קבוע, וכך הלאה.

הנוסחאות

אבר כללי

עבור סדרה עם אבר ראשון a₁ ומנה q:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

סכום n אברים (q ≠ 1)

$$S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

צורה שקולה (נוחה כש-q קטן מ-1):

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

מקרה מיוחד q = 1

כל האברים שווים, והסכום הוא:

$$S_n = n \cdot a_1$$

תכונת ממוצע גאומטרי

$$a_k^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1}$$

הוכחה לאבר הכללי

לפי ההגדרה, a_{n+1} = q · a_n. זה אומר:

a_2 = q · a_1
a_3 = q · a_2 = q² · a_1
a_4 = q · a_3 = q³ · a_1
...
a_n = q^(n−1) · a_1

הוכחה לסכום

נכתוב S = a_1 + a_1 q + a_1 q² + ... + a_1 q^(n−1). נכפול ב-q:

$$qS = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \ldots + a_1 q^n$$

נחסר:

$$qS - S = a_1 q^n - a_1 \implies S(q - 1) = a_1 (q^n - 1) \implies S = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

דוגמה 1: אבר כללי

בסדרה הנדסית a_1 = 3, q = 2. מצאו את a_8.

פתרון.

$$a_8 = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$$

דוגמה 2: סכום

בסדרה הנדסית a_1 = 5, q = 3. מצאו את סכום 6 האברים הראשונים.

פתרון.

$$S_6 = 5 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \frac{728}{2} = 5 \cdot 364 = 1820$$

דוגמה 3: ריבית דריבית

הפקדה ראשונית של 5000 ש"ח בריבית שנתית של 4%. מהו ערך ההפקדה אחרי 8 שנים?

פתרון. ערכי ההפקדה לפי שנה: 5000, 5000·1.04, 5000·1.04², ... זו סדרה הנדסית עם a_1 = 5000 ו-q = 1.04. ערך אחרי 8 שנים = a_9:

$$a_9 = 5000 \cdot 1.04^8 \approx 5000 \cdot 1.369 \approx 6843$$

דוגמה 4: מציאת q

בסדרה הנדסית, a_1 = 4, a_5 = 324. מצאו את q.

פתרון.

$$a_5 = a_1 \cdot q^4 \implies 324 = 4 \cdot q^4 \implies q^4 = 81 \implies q = 3$$

(שורש רביעי של 81 הוא 3, ו-q בדרך-כלל חיובי בשאלות בגרות.)

טעויות נפוצות

1. חישוב a_n = a_1 · q^n. שגוי! הנוסחה היא q^(n−1). האבר הראשון כבר במקום, מכפילים n−1 פעמים.
2. שכחת התנאי q ≠ 1 בנוסחת הסכום. אם q שווה ל-1, חלוקה באפס. במקרה זה השתמש בנוסחה n · a_1.
3. בלבול בין a_n ל-S_n. אבר n-י הוא רק האבר. סכום n אברים הוא הסכום של n האברים הראשונים.
4. חישוב שגוי בריבית דריבית. ערך אחרי n שנים הוא a_{n+1} (סכום ראשוני נספר כמיקום ראשון).

עמודים קשורים

• סדרה הנדסית
• סדרה חשבונית
• טור הנדסי אינסופי
• סדרות