טור הנדסי אינסופי לבגרות: התכנסות וסכום

טור הנדסי אינסופי הוא סכום של אינסוף אברים בסדרה הנדסית. בניגוד לטור חשבוני אינסופי שתמיד מתבדר, לטור הנדסי יש סכום סופי כאשר המנה בערך מוחלט קטנה מאחד.

תנאי התכנסות

הטור מתכנס (יש סכום סופי) אם ורק אם:

$$|q| < 1$$

כש-|q| ≥ 1 הטור מתבדר (הסכום אינו קיים או שואף לאינסוף).

נוסחת הסכום האינסופי

עבור |q| < 1:

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$$

הסבר אינטואיטיבי: כש-q קטן בערך מוחלט מ-1, כל אבר חדש קטן משמעותית מהקודם. הסכום מתקרב לערך גבול ולא ממשיך לגדול בלי גבול.

הקשר לנוסחת הסכום הסופי

נוסחת סכום של n אברים:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

כאשר |q| < 1 ו-n שואף לאינסוף, q^n שואף לאפס, ונשאר:

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$$

דוגמה: סכום בסיסי

מצאו את סכום הטור: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ....

פתרון. סדרה הנדסית עם a_1 = 1 ו-q = 1/2. בודקים: |q| = 1/2 < 1. הטור מתכנס.

$$S_\infty = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$$

דוגמה: כדור קופץ

כדור נופל מגובה של 10 מטר. בכל קפיצה הוא חוזר ל-70% מהגובה הקודם. מה המרחק הכולל שעובר הכדור עד שעוצר?

פתרון. מרחק כולל = נפילה ראשונה + 2 · (סכום כל גובהי הקפיצות).

הגבהים שאליהם הכדור חוזר: 7, 7·0.7, 7·0.7², ... זו סדרה הנדסית עם a_1 = 7, q = 0.7.

$$S_\infty = \frac{7}{1 - 0.7} = \frac{7}{0.3} \approx 23.33 \text{ מטר}$$

כל גובה מתבצע פעמיים (עליה וירידה): 2·23.33 ≈ 46.67. בנוסף הנפילה הראשונה: 10. סה"כ ≈ 56.67 מטר.

דוגמה: שבר מחזורי

המירו את 0.333... למספר שבר.

פתרון. 0.333... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + .... סדרה הנדסית עם a_1 = 0.3, q = 0.1.

$$S_\infty = \frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3}$$

הגבלות וטיפים

• נוסחת הסכום רק עבור |q| < 1. תמיד בדקו תנאי לפני שימוש בנוסחה.
• אם q שלילי (אבל |q| < 1), הסדרה מתחלפת בסימן והסכום עדיין סופי.
• בבעיות מילוליות, זהו את a_1 (האבר הראשון של הסדרה) ואת q (היחס בין אברים). הקושי לרוב בזיהוי a₁.

טעויות נפוצות

1. שימוש בנוסחת סכום אינסופי בלי לבדוק תנאי התכנסות. תמיד לבדוק |q| < 1.
2. ערבוב בין a₁ לקפיצה ראשונה. במשל הכדור, הגובה הראשון שהוא קופץ אליו הוא a₁ של סדרת הגבהים. הנפילה הראשונה היא נפרדת.
3. שכחה שכל קפיצה נספרת פעמיים. במשל הכדור, כל גובה מסתובב פעמיים (עליה וירידה). הוסיפו את הנפילה הראשונה בנפרד.

עמודים קשורים

• סדרות
• סדרה חשבונית
• סדרה הנדסית