מעוין לעומת ריבוע: מה ההבדל וכיצד מזהים

מעוין הוא מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות באורך. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו גם כל הזוויות ישרות. לכן כל ריבוע הוא מעוין, אבל לא כל מעוין הוא ריבוע.

מאפיינים השוואתיים

אלכסונים. ההבדל המרכזי

במעוין כללי האלכסונים מאונכים אבל לא שווים באורך. בריבוע הם גם מאונכים וגם שווים באורך.

זה תנאי מספיק עוצמתי: אם הוכחתם שאלכסוני מרובע מאונכים, חוצים זה את זה, ושווים באורך, המרובע הוא ריבוע.

שטח

מעוין: השטח הוא חצי מכפלת האלכסונים:

$$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

ריבוע: אותה נוסחה עובדת, אבל מאחר ש-d₁ = d₂ = d:

$$S = \frac{d^2}{2}$$

או, אם ידועה צלע a: S = a².

הקשר בין הצלע לאלכסון בריבוע: d = a√2. וזה לא נכון במעוין כללי.

איך להוכיח שמעוין הוא ריבוע

נתון מעוין. כדי להוכיח שהוא ריבוע, מספיק להוכיח אחד מהבאים:

1. זווית אחת ישרה. בגלל סימטריה במעוין, אם זווית אחת ישרה, כולן ישרות.
2. שני אלכסונים שווים באורך. במעוין, אלכסונים שווים גוררים זווית ישרה.

דוגמה

ABCD מעוין, ונתון ש-AC = BD (האלכסונים שווים). הוכיחו שמרובע ריבוע.

פתרון.

1. במעוין, אלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה.
2. נסמן את נקודת החיתוך M. אז AM = MC = MB = MD (כל הקטעים שווים, מאחר ו-AC = BD ושניהם נחצים).
3. במשולש AMB, AM = MB וזווית M ישרה. אז המשולש שווה-שוקיים וישר זווית.
4. זווית BAM = 45°, וכן גם זווית BCM (סימטריה). זווית A במלבן ABCD היא 90°.
5. מעוין עם זווית ישרה הוא ריבוע.

טעות שכיחה

תלמידים מבלבלים בין "כל הצלעות שוות" לבין "ריבוע". כל הצלעות שוות מגדיר מעוין, לא בהכרח ריבוע. צריך תנאי נוסף, זווית ישרה.

עמודים קשורים

• מעוין
• ריבוע
• מקבילית לעומת מלבן